Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $f:E\rightarrow E$ une fonction qui vérifie $f(0_E)=0_E$ et, pour tous $x,y \in E$ :\[ \|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|. \]Montrer que $f$ est une application linéaire.

Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $f\in \mathcal{L}(E)$ vérifiant, pour tous $x,y \in E$ :\[ (x|y)=0 \; \Rightarrow \; (f(x)|f(y))=0. \]Montrer qu'il existe $k \in \mathbb{R}_+$ tel que, pour tous $x,y \in E$ :\[ (f(x)|f(y))=k(x|y). \]

On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[ A=\frac{1}{2\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 6\sqrt{3}&0&4\sqrt{6} \\ 0&\sqrt{3}&-1 \\ -4\sqrt{6}&3&-5\sqrt{3} \end{pmatrix} \]

On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[ A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sqrt{3}&0&1 \\ 0&2&0 \\ -1&0&\sqrt{3} \end{pmatrix} \]

On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[ A=-\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} 1&0&-1 \\ 0&-\sqrt{2}&0 \\ 1&0&1 \end{pmatrix} \]

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que si $A+{}^{t}\mkern-3mu A$ est nilpotente, alors $A$ est une matrice antisymétrique.

Soit $E$ un espace euclidien et $u,v \in \mathcal{L}(E)$.

1. On suppose que $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$ (i.e. $u$ est un endomorphisme autoadjoint défini positif). Justifier que $u$ est bijectif et montrer qu'il existe $r \in \mathcal{S}^{++}(E)$ tel que $r^2=u$.
2. On suppose $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$ et $v \in \mathcal{S}(E)$. Montrer que $u^{-1}\circ v$ est diagonalisable.

Soit $E$ un espace euclidien et $u$ une isométrie vectorielle de $E$. Montrer que $u$ est une symétrie si, et seulement si, $u$ est diagonalisable.

Soit $E$ un espace euclidien et $u$ un endomorphisme de $E$ tel que, pour tous $x,y \in E$ :\[ (x|y)=0 \; \Rightarrow \; (u(x)|u(y))=0. \]

1. Montrer qu'il existe un réel positif $c$ tel que, pour tout $x \in E$ : \[ \|u(x)\|=c\|x\|. \]
2. En déduire que $u$ est colinéaire à une isométrie vectorielle.

Soit $E$ un espace euclidien et $u \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que si $u^2=\mathbf{0}$ alors\[ \text{Ker}(u+u^*) = \text{Ker}(u) \cap \text{Ker}(u^*) \]

Soit $E$ un espace euclidien et $u \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que, pour $x \in E$ :\[ \|u(x)\|\leqslant \|x\| \; \Rightarrow \; \|u^*(x)\|\leqslant \|x\| \]