On note $E=\mathbb{R}[X]$ et on pose, pour $P,Q \in E$ :\[ (P|Q)=\int_0^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t}\text{d}t. \]

1. Montrer que l'application $(\cdot|\cdot)$ est bien définie sur $E\times E$ et qu'il s'agit d'un produit scalaire sur $E$.
   Dans les questions suivantes, on munit $E$ de ce produit scalaire.
2. Montrer que $X-\sqrt{2}$ et $X+\sqrt{2}$ sont orthogonaux.
3. Pour $n \in \mathbb{N}$, calculer $\|X^n\|$.

On note $E=\mathbb{R}[X]$ et on pose, pour $P,Q \in E$ :\[ (P|Q)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{P^{(k)}(0)Q^{(k)}(0)}{k!}. \]

1. Montrer que l'application $(\cdot|\cdot)$ est bien définie sur $E\times E$ et qu'il s'agit d'un produit scalaire sur $E$.
   Dans les questions suivantes, on munit $E$ de ce produit scalaire.
2. Montrer que la base canonique de $E$ est une base orthonormale de $E$.
3. Pour $P,Q \in E$, donner une expression simple de $(P|Q)$ en fonction de leurs coefficients.