On considère $\mathbb{R}^3$ muni de son produit scalaire canonique et la famille $\mathcal{F}=(u,v,w)$ de vecteurs $\mathbb{R}^3$ où :\[ u=(1,0,1), \; \; v=(1,1,1)\; \text{ et }\;w=(2,1,1). \]Vérifier que $(u,v,w)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ puis construire la base orthonormale $(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb{R}^3$ en utilisant l'orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille $\mathcal{F}$.

On considère $\mathbb{R}^3$ muni de son produit scalaire canonique et la famille $\mathcal{F}=(u,v,w)$ de vecteurs $\mathbb{R}^3$ où :\[ u=(0,1,1), \; \; v=(1,0,1)\; \text{ et }\;w=(1,1,0). \]Vérifier que $(u,v,w)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ puis construire la base orthonormale $(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb{R}^3$ en utilisant l'orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille $\mathcal{F}$.

On considère $\mathbb{R}^3$ muni de son produit scalaire canonique et la famille $\mathcal{F}=(u,v,w)$ de vecteurs $\mathbb{R}^3$ où :\[ u=(0,4,3), \; \; v=(0,1,0)\; \text{ et }\;w=(1,1,0). \]Vérifier que $(u,v,w)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ puis construire la base orthonormale $(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb{R}^3$ en utilisant l'orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille $\mathcal{F}$.

On considère $\mathbb{R}^4$ muni de son produit scalaire canonique et la famille $\mathcal{F}=(u,v,w,x)$ de vecteurs $\mathbb{R}^4$ où :\[ u=(1,0,1,0), \; \; v=(1,1,-1,0), \; \; w=(0,0,1,0)\; \text{ et }\;x=(1,1,1,1). \]Vérifier que $(u,v,w,x)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ puis construire la base orthonormale $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ de $\mathbb{R}^3$ en utilisant l'orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille $\mathcal{F}$.

On considère la famille $\mathcal{F}=(1,X,X^2)$ de $\mathbb{R}[X]$. Construire la famille orthonormale $(e_1,e_2,e_3)$ en utilisant l'orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille $\mathcal{F}$ pour le produits scalaire sur $\mathbb{R}[X]$, définis, pour $P,Q \in \mathbb{R}[X]$ par :\[ (P|Q)=\int_{-1}^1 P(t)Q(t) \text{d}t. \]

On considère la famille $\mathcal{F}=(1,X,X^2)$ de $\mathbb{R}[X]$. Construire la famille orthonormale $(e_1,e_2,e_3)$ en utilisant l'orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille $\mathcal{F}$ pour le produits scalaire sur $\mathbb{R}[X]$, définis, pour $P,Q \in \mathbb{R}[X]$ par :\[ (P|Q)=\int_0^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t}\text{d}t. \]