Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $f:E\rightarrow E$ une fonction qui vérifie $f(0_E)=0_E$ et, pour tous $x,y \in E$ :\[ \|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|. \]Montrer que $f$ est une application linéaire.

Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $f\in \mathcal{L}(E)$ vérifiant, pour tous $x,y \in E$ :\[ (x|y)=0 \; \Rightarrow \; (f(x)|f(y))=0. \]Montrer qu'il existe $k \in \mathbb{R}_+$ tel que, pour tous $x,y \in E$ :\[ (f(x)|f(y))=k(x|y). \]

On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[ A=\frac{1}{2\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 6\sqrt{3}&0&4\sqrt{6} \\ 0&\sqrt{3}&-1 \\ -4\sqrt{6}&3&-5\sqrt{3} \end{pmatrix} \]

On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[ A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sqrt{3}&0&1 \\ 0&2&0 \\ -1&0&\sqrt{3} \end{pmatrix} \]

On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[ A=-\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} 1&0&-1 \\ 0&-\sqrt{2}&0 \\ 1&0&1 \end{pmatrix} \]

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que si $A+{}^{t}\mkern-3mu A$ est nilpotente, alors $A$ est une matrice antisymétrique.

Soit $E$ un espace euclidien et $u,v \in \mathcal{L}(E)$.

1. On suppose que $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$ (i.e. $u$ est un endomorphisme autoadjoint défini positif). Justifier que $u$ est bijectif et montrer qu'il existe $r \in \mathcal{S}^{++}(E)$ tel que $r^2=u$.
2. On suppose $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$ et $v \in \mathcal{S}(E)$. Montrer que $u^{-1}\circ v$ est diagonalisable.

Soit $E$ un espace euclidien et $u$ une isométrie vectorielle de $E$. Montrer que $u$ est une symétrie si, et seulement si, $u$ est diagonalisable.

Soit $E$ un espace euclidien et $u$ un endomorphisme de $E$ tel que, pour tous $x,y \in E$ :\[ (x|y)=0 \; \Rightarrow \; (u(x)|u(y))=0. \]

1. Montrer qu'il existe un réel positif $c$ tel que, pour tout $x \in E$ : \[ \|u(x)\|=c\|x\|. \]
2. En déduire que $u$ est colinéaire à une isométrie vectorielle.

Soit $E$ un espace euclidien et $u \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que si $u^2=\mathbf{0}$ alors\[ \text{Ker}(u+u^*) = \text{Ker}(u) \cap \text{Ker}(u^*) \]

Soit $E$ un espace euclidien et $u \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que, pour $x \in E$ :\[ \|u(x)\|\leqslant \|x\| \; \Rightarrow \; \|u^*(x)\|\leqslant \|x\| \]

On munit $E=\mathbb{R}[X]$ du produit scalaire $(\cdot | \cdot)$ tel que, pour $P,Q \in E$ :\[ (P|Q)=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 P(t)Q(t)\text{d}t. \]

1. Par le procédé d'orthonormalisation de Gramm-Schmidt, déterminer une famille orthonormale $(e_0,e_1,e_2)$ de $E$ à partir de la famille $(1,X,X^2)$.
   Dans la suite, on note $F=\text{Vect}(e_0,e_1,e_2)$.
2. Pour $n \in \mathbb{N}$, calculer la projection orthogonale de $X^{2n+1}$ sur $F$.
3. Déterminer la distance de $X^7$ à $F$.

On note $E=\mathbb{R}[X]$ et on pose, pour $P,Q \in E$ :\[ (P|Q)=\int_0^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t}\text{d}t. \]

1. Montrer que l'application $(\cdot|\cdot)$ est bien définie sur $E\times E$ et qu'il s'agit d'un produit scalaire sur $E$.
   Dans les questions suivantes, on munit $E$ de ce produit scalaire.
2. Montrer que $X-\sqrt{2}$ et $X+\sqrt{2}$ sont orthogonaux.
3. Pour $n \in \mathbb{N}$, calculer $\|X^n\|$.

On note $E=\mathbb{R}[X]$ et on pose, pour $P,Q \in E$ :\[ (P|Q)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{P^{(k)}(0)Q^{(k)}(0)}{k!}. \]

1. Montrer que l'application $(\cdot|\cdot)$ est bien définie sur $E\times E$ et qu'il s'agit d'un produit scalaire sur $E$.
   Dans les questions suivantes, on munit $E$ de ce produit scalaire.
2. Montrer que la base canonique de $E$ est une base orthonormale de $E$.
3. Pour $P,Q \in E$, donner une expression simple de $(P|Q)$ en fonction de leurs coefficients.

On considère $\mathbb{R}^3$ muni de son produit scalaire canonique et la famille $\mathcal{F}=(u,v,w)$ de vecteurs $\mathbb{R}^3$ où :\[ u=(1,0,1), \; \; v=(1,1,1)\; \text{ et }\;w=(2,1,1). \]Vérifier que $(u,v,w)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ puis construire la base orthonormale $(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb{R}^3$ en utilisant l'orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille $\mathcal{F}$.

On considère $\mathbb{R}^3$ muni de son produit scalaire canonique et la famille $\mathcal{F}=(u,v,w)$ de vecteurs $\mathbb{R}^3$ où :\[ u=(0,1,1), \; \; v=(1,0,1)\; \text{ et }\;w=(1,1,0). \]Vérifier que $(u,v,w)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ puis construire la base orthonormale $(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb{R}^3$ en utilisant l'orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille $\mathcal{F}$.

On considère $\mathbb{R}^3$ muni de son produit scalaire canonique et la famille $\mathcal{F}=(u,v,w)$ de vecteurs $\mathbb{R}^3$ où :\[ u=(0,4,3), \; \; v=(0,1,0)\; \text{ et }\;w=(1,1,0). \]Vérifier que $(u,v,w)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ puis construire la base orthonormale $(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb{R}^3$ en utilisant l'orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille $\mathcal{F}$.

On considère $\mathbb{R}^4$ muni de son produit scalaire canonique et la famille $\mathcal{F}=(u,v,w,x)$ de vecteurs $\mathbb{R}^4$ où :\[ u=(1,0,1,0), \; \; v=(1,1,-1,0), \; \; w=(0,0,1,0)\; \text{ et }\;x=(1,1,1,1). \]Vérifier que $(u,v,w,x)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ puis construire la base orthonormale $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ de $\mathbb{R}^3$ en utilisant l'orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille $\mathcal{F}$.

On considère la famille $\mathcal{F}=(1,X,X^2)$ de $\mathbb{R}[X]$. Construire la famille orthonormale $(e_1,e_2,e_3)$ en utilisant l'orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille $\mathcal{F}$ pour le produits scalaire sur $\mathbb{R}[X]$, définis, pour $P,Q \in \mathbb{R}[X]$ par :\[ (P|Q)=\int_{-1}^1 P(t)Q(t) \text{d}t. \]

On considère la famille $\mathcal{F}=(1,X,X^2)$ de $\mathbb{R}[X]$. Construire la famille orthonormale $(e_1,e_2,e_3)$ en utilisant l'orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille $\mathcal{F}$ pour le produits scalaire sur $\mathbb{R}[X]$, définis, pour $P,Q \in \mathbb{R}[X]$ par :\[ (P|Q)=\int_0^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t}\text{d}t. \]

On considère $E=C([0,1],\mathbb{R})$ muni de son produit scalaire canonique $(\cdot|\cdot)$ i.e. pour $f,g \in E$ :\[ (f|g)=\int_0^{1}f(t)g(t)\text{d}t. \]Déterminer l'orthogonal de $F=C^2([0,1],\mathbb{R})$ le sous-espace vectoriel de $E$ des fonctions de classe $C^2$ sur $[0,1]$.