Exercices de la catégorie Diagonalisation / Trigonalisation pratique
0
Navigation : Mathématiques ⇐ Algèbre ⇐ Algèbre linéaire ⇐ Réduction des matrices et des endomorphismes ⇐ Diagonalisation / Trigonalisation ⇐ Diagonalisation / Trigonalisation pratique
Diagonalisation / Trigonalisation pratique : liste des exercices
Exercice #295
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
-3&1&3 \\
1&-3&3 \\
-5&5&1
\end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #296
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
1&-1&3 \\
-2&2&3 \\
2&1&0
\end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #297
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
4&-1&-3 \\
1&2&-3 \\
-1&1&6
\end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #298
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
0&-1&1 \\
6&-5&2 \\
-3&1&-4
\end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #299
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
3&-4&-5 \\
6&-8&-6 \\
-7&8&5
\end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #300
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \\
1&0&1 \\
1&-1&0
\end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #301
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
4&1&0 \\
0&2&-1 \\
1&1&3
\end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #302
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $A=\begin{pmatrix}
1+a&1+a&1 \\
-a&-a&-1 \\
a&a-1&0
\end{pmatrix}$.
- Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $A$ est-elle trigonalisable ? diagonalisable ?
- Effectuer la trigonalisation/diagonalisation selon les valeurs de $a$ déterminée à la question précédente.
Exercice #628 Oral CCinP
Énoncé
Soit $u,v,w \in \mathbb{R}^*$. On pose\[
M=-\frac{2}{3} \begin{pmatrix}\displaystyle-\frac{1}{2}&\displaystyle\frac{v}{u}&\displaystyle\frac{w}{u}\\ \displaystyle\frac{u}{v}&\displaystyle-\frac{1}{2}&\displaystyle\frac{w}{v}\\ \displaystyle\frac{u}{w}&\displaystyle\frac{v}{w}&\displaystyle-\frac{1}{2} \end{pmatrix}
\]
- Sans calculer le polynôme caractéristique de $M$, montrer que $1$ est valeur propre de $M$ et donner une base du sous-espace propre de $M$ associé à $1$.
- En déduire que $M$ est diagonalisable puis montrer sans calculs que $M^2=I_3$.
- Montrer que $M\in O_3(\mathbb{R})$ si, et seulement si, $|u|=|v|=|w|$.
- Soit $P= \begin{pmatrix} vw&w&v\\ uw &0 &-u\\ uv&-u&0 \end{pmatrix}$. Calculer $P^{-1}$.
Indications
- Résoudre $MX=X$.
- Utiliser le fait que $1$ est de multiplicité au moins $2$ d'après la question précédente.
- Remarquer que $M^2=I_3$ pour résoudre ${}^{t}\mkern-3mu MM = I_3$.
Correction
- On vérifie que $X=\begin{pmatrix}x \\y \\ z\end{pmatrix} \in \text{Ker}(M-I_3)$ si, et seulement si, $ux+vy+wz=0$; donc $\text{dim}(\text{Ker}(M-I_3))=2$. Ainsi $1$ est valeur propre de $M$ et on a par exemple :\[ E_1(M)=\text{Vect}\left(\begin{pmatrix}w \\0 \\ -u\end{pmatrix},\begin{pmatrix}v \\-u \\ 0\end{pmatrix}\right). \]Remarque : on reconnait les deux dernières colonnes de $P$... on peut donc se dire que la première colonne de $P$ est intéressante également vis-à-vis de $M$...
- Comme $\text{dim}(E_1(M))=2$, la multiplicité de la valeur propre $1$ est au moins égale à $2$. Ainsi le polynôme caractéristique $\chi_M$ étant de degré $3$, il est scindé dans $\mathbb{R}$ de la forme $\chi_M=(X-1)^2(X-\lambda)$ et on a alors :\[
1=\text{Tr}(M)=2+\lambda
\]D'où $\lambda=-1$. Par suite, $-1$ est valeur propre de multiplicité $1$, de sous-espace propre de dimension $1$; et $-1$ est valeur propre de multiplicité $2$, de sous-espace propre de dimension $2$.
Il en résulte que $M$ est diagonalisable; plus précisément, il existe $P\in GL_3(R)$ tel que $M=P\begin{pmatrix} -1&0&0\\ 0&1 &0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}P^{-1}$.
On a alors :\[ M^2=P\begin{pmatrix} -1&0&0\\ 0&1 &0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}^2P^{-1}=PI_3P^{-1}=I_3. \] - Comme $0$ n'est pas valeur propre de $M$, $M$ est inversible et donc, on a$M$ est une matrice orthogonale
si, et seulement si,
${}^{t}\mkern-3mu MM = I_3$
si, et seulement si, d'après la question précédente,
${}^{t}\mkern-3mu MM = M^2$
si, et seulement si, en multipliant par $M^{-1}$ dans le sens direct et par $M$ dans le sens indirecte,
${}^{t}\mkern-3mu M = M$ i.e. $M$ est symétrique.
Or, $M$ est symétrique si, et seulement si, $\frac{v}{u}=\frac{u}{v}$; $\frac{w}{v}=\frac{v}{w}$ et $\frac{u}{w}=\frac{w}{u}$ si, et seulement si, $u^2=v^2=w^2$ i.e. $|u|=|v|=|w|$. - On a\[
P^{-1} = \frac{1}{3u^2wv} \begin{pmatrix} u^2&uv&uw\\ u^2v & uv^2& -2uvw\\ u^2w&-2uvw&uw^2 \end{pmatrix}
\]
Exercice #303
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$ et $x,y \in \mathbb{C}^*$ tels que $y\neq \pm x$. On considère la matrice : \[
A=\begin{pmatrix}
x & y& x& \dots &y &x &y \\
y & x&y & \dots & x& y&x \\
x & y&x & \dots &y &x &y \\
\vdots&\vdots&\vdots& \ddots &\vdots&\vdots&\vdots \\
y & x& y& \dots &x &y &x \\
x & y&x & \dots &y &x &y \\
y & x&y & \dots &x &y &x
\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C}).
\]Montrer que $A$ est diagonalisable.
Exercice #304
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $E$ une espace vectoriel de dimension $n$ sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ de rang $1$. Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\text{Tr}(u)\neq 0$.
Classexo 2026 || Contacts || Conseils d'utilisation