Exercices de la catégorie Suites de fonctions
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Suites de fonctions : liste des exercices
Exercice #343
Énoncé
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(x) = e^{-nx}\sin(nx).
\]
- Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
- Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice #344
Énoncé
Étudier les convergence simple et uniforme sur $[0,1]$ de la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [0,1]$ : \[
f_n(t) = \begin{cases}
t^n\ln(t)&\text{ si }x> 0 \\
0&\text{ si }x=0.
\end{cases}
\]
Exercice #345
Énoncé
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(x) = \frac{1}{(1+x^2)^n}.
\]
- Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
- Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.
Exercice #604
Détails de l'exercice #604
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : M. Arnt
Énoncé
Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée bornée sur $\mathbb{R}$.
On pose, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle f_n:x \mapsto f\left(x+\frac{1}{n}\right)$.
Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$.
On pose, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle f_n:x \mapsto f\left(x+\frac{1}{n}\right)$.
Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$.
Indications
Utiliser l'inégalité des accroissements finis.
Correction
- CVS sur $\mathbb{R}_+$.
Soit $x \in \mathbb{R}$. Étudions la nature de $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$.
Comme $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ et ainsi, d'après la caractérisation séquentielle de la continuité on a : \[ f\left(x+\frac{1}{n}\right)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f(x). \] Par suite, $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge.
Ceci étant vrai pour tout $x \in \mathbb{R}$, la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ et ce, vers la fonction $f$. - CVU sur $\mathbb{R}$.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a : \[ |f_n(x)-f(x)| = \left|f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right| \] Comme $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $f'$ est bornée sur $\mathbb{R}$, d'après l'inégalité des accroissements finis, on a : \[ \left|f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right| \leqslant \|f'\|_{\infty}.\left(\left(x+\frac{1}{n}\right)-x\right)=\frac{\|f'\|_{\infty}}{n}. \] D'où $f_n-f$ est bornée sur $\mathbb{R}$ et : \[ \|f_n-f\|_{\infty}\leqslant \frac{\|f'\|_{\infty}}{n}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0. \] Par suite, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$.
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