1. CVS sur $\mathbb{R}$ :
   Soit $x \in \mathbb{R}$. Étudions la nature de $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$.
   Si $x = 0$, $f_n(0)=0$ est le terme général d'une série convergente.
   Si $x \neq 0$,\[ |f_n(x)| \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{2|x|}{n^2} \]Or, $\frac{1}{n^2}$ est le terme général d'une série convergente, donc, $\frac{2|x|}{n^2}$ l'est aussi et ainsi, par comparaison, la série numérique $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ converge absolument et donc converge.
   Par suite, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$.
   (Et ainsi, $S$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.)
2. Vérifions les hypothèses du théorème de continuité des sommes de séries de fonctions.
   
   • Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme quotient de fonctions continue sur $\mathbb{R}$ (car polynomiale) dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
   • Montrons la convergence uniforme (au moins) sur tout segment de $\mathbb{R}$. Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$.
     CVN sur $[-a,a]$ :
     Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour tout $x \in [-a,a]$, on a, comme $0\leqslant |x| \leqslant a$ : \[ |f_n(x)|=\frac{2|x|}{x^2+n^2}\leqslant \frac{2a}{n^2} \] Donc $f_n$ est bornée sur $[-a,a]$ et sur $[-a,a]$, $\|f_n\|_{\infty}\leqslant \frac{2a}{n^2}$ qui est le terme général d'une série convergente (comme dans la question 1).
     Ainsi, par comparaison, $\sum_{n \geqslant 1} \|f_n\|_{\infty}$ converge i.e. $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge normalement sur $[-a,a]$, et ce, pour tout réel $a > 0$.
     Comme tout segment de $\mathbb{R}$ est inclus dans un intervalle de la forme $[-a,a]$ avec $a> 0$, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge normalement sur tout segment de $\mathbb{R}$ et donc, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge uniformément sur tout segment de $\mathbb{R}$ car "CVN implique CVU".
   Ainsi, les hypothèses étant vérifiées, d'après le théorème de continuité des sommes de séries de fonctions, la fonction $S$ est continue sur $\mathbb{R}$.
   
   Remarque : on aurait pu tenter la CVN sur $\mathbb{R}$ mais ça n'aurait pas fonctionné; en effet, on peut montrer que sur $\mathbb{R}$, $\|f_n\|_{\infty}=\frac{2}{n}$ (atteint en $x=n$) qui est le terme général d'une série divergente.
   Et il n'y a pas CVU sur $\mathbb{R}$ non plus : en posant $x_n=n$, on vérifie que $\|R_n\|_{\infty}\geqslant R_n(x_n) \geqslant \frac{2}{5}$ (en restreignant la somme de $n+1$ à $2n$).
3. D'après la remarque précédente, on ne peut pas appliquer le théorème d'interversion limite/somme (théorème de double limite pour les séries de fonctions).
   Il faut trouver une autre façon de faire : par exemple, une comparaison série/intégrale (le terme général fait penser à quelque chose ressemblant à la dérivée de arctangente).
   Fixons un réel $x > 0$. On pose $g:t\mapsto \frac{2x}{x^2+t^2}$. Alors $g$ est positive, continue et décroissante sur $\mathbb{R}_+$ donc, par comparaison série/intégrale :
   • $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ et $\int_0^{+\infty}g(t) \text{d}t$ sont de même nature et donc convergentes car $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ converge (question 1).
   • Et de plus, on a : \[ \int_1^{+\infty}g(t) \text{d}t\leqslant S(x)=\sum_{n =1}^{+\infty} f_n(x) \leqslant \int_0^{+\infty}g(t) \text{d}t \]
   Or, on remarque que, pour $t \in \mathbb{R}_+$,\[ g(t)=\frac{2x}{x^2+t^2}=2\frac{\frac{1}{x}}{1+\left(\frac{t}{x}\right)^2} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right), \]donc :\[ \pi-2\textrm{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)=\left[2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right)\right]_1^{+\infty}\leqslant S(x) \leqslant \left[2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right)\right]_0^{+\infty} = \pi \]Et, ainsi, comme $\textrm{arctan}\left(\frac{1}{x}\right) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}0$, d'après le théorème des gendarmes, on obtient :\[ \lim_{x \rightarrow +\infty}S(x)=\pi. \]Remarque : Avec ce qu'on vient de calculer, on obtient une nouvelle façon de prouver qu'il n'y a pas CVU sur $\mathbb{R}$; en effet, par l'absurde, si $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ CVU sur $\mathbb{R}$, comme, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}0$, d'après le théorème d'interversion limite/somme, on a $\pi=\lim_{x \rightarrow +\infty}S(x)=0$. Contradiction !

Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $f_n:x \mapsto \frac{x^n}{1+x^n}$. Pour $n$ entier impair, $f_n$ n'est pas définie en $-1$ donc le domaine de $S$ est inclus dans $\mathbb{R}\smallsetminus\{-1\}$.

CVS sur $\mathbb{R} \smallsetminus\{-1\}$ : Soit $x \in \mathbb{R} \smallsetminus\{-1\}$. Étudions la nature de $\sum f_n(x)$.

• Si $|x|< 1$, on a :\[ |f_n(x)|=\frac{|x|^n}{1+x^n}\underset{\rightarrow+\infty}{\sim}|x|^n \]Or $|x|^n$ est le terme général d'une série convergente donc, par comparaison, $\sum f_n(x)$ converge absolument et donc converge.
  
• Si $|x|> 1$, comme $|x|^n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} +\infty$, on a \[ f_n(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x^n}} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 1 \neq 0 \] donc $\sum f_n(x)$ diverge grossièrement.
  
• Si $x = 1$, $f_n(x)=1$ donc $\sum f_n(x)$ diverge grossièrement.

Il en résulte que $\sum f_n(x)$ converge simplement sur $]-1,1[$ au plus donc le domaine de $S$ est $]-1,1[$.


Montrons que $S$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$.

• Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$ comme quotient de fonctions polynomiales dont le dénominateur ne s'annule pas. De plus, pour tout $x \in ]-1,1[$, on a : \[ f'_n(x)=\frac{nx^{n-1}}{(1+x^n)^2}. \]
• On a $\sum f_n(x)$ converge simplement sur $]-1,1[$ d'après ce qui précède.
  
• Étudions la convergence uniforme de $\sum f'_n$ (au moins) sur tout segment de $]-1,1[$.
  
  Soit $a \in ]0,1[$.
  CVN sur $[-a,a]$ de $\sum f'_n$ : Soit $n \in \mathbb{N}$. Pour tout $x \in [-a,a]$, on a : \[ |f'_n(x)|=\frac{n|x|^{n-1}}{(1+x^n)^2} \leqslant \frac{na^{n-1}}{(1-a^n)^2} \] Par suite, $f'_n$ est bornée sur $[-a,a]$ et on a, sur $[-a,a]$ : \[ \|f'_n\|_{\infty}\leqslant \frac{na^{n-1}}{(1-a^n)^2}\underset{\rightarrow+\infty}{\sim}na^{n-1} \] Or, comme $a \in ]0,1[$, $\sum na^{n-1}$ converge (en utilisant la règle de D'Alembert ou par comparaison à une série de Riemann convergente par exemple), donc, par comparaison, $\sum \|f'_n\|_{\infty}$ converge i.e. $\sum f'_n$ converge normalement sur $[-a,a]$.
  
  Ainsi, pour tout $a \in ]0,1[$, $\sum f'_n$ converge normalement et donc uniformément sur $[-a,a]$. Or, tout segment de $]-1,1[$ est inclus dans un intervalle de la forme $[-a,a]$, donc $\sum f'_n$ converge uniformément sur tout segment de $]-1,1[$.

Il en résulte que, d'après le théorème d'interversion dérivation/somme :

• la série $\sum f_n$ converge uniformément sur tout segment de $]-1,1[$;
• la fonction $S$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$ et on a, pour tout $x \in ]-1,1[$ : \[ S'(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{1+x^n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\frac{x^n}{1+x^n} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{nx^{n-1}}{(1+x^n)^2}. \]