Pour $n\in \mathbb{N}^*$, on pose $u_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^k\sqrt{k}$.

1. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle u_{2n}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}}$.
2. Par une comparaison série-intégrale, montrer que $\displaystyle u_{2n}\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{\sqrt{2n}}{2}$.
3. En déduire un équivalent simple de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
4. Pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, on pose $v_n=u_{n+1}+u_n$.
   Montrer que $\sum v_{n+1}-v_n$ converge et en déduire que $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge.
5. Retrouver alors l'équivalent de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[ u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}. \]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.

Déterminer la nature de la série : \[ \sum_{n \geqslant 1}\frac{1}{n^{(1+\frac{1}{n})}} \]

Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[ u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}-\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}. \]

Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[ u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}. \]

Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum u_n$ de terme général :\[ u_n = \frac{n^2-2}{n!}. \]

Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[ u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}. \]

Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[ u_n = \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right) \]puis déterminer sa somme.

Déterminer la nature de la série $\sum u_n$ de terme général :\[ u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}. \]

Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[ u_n = \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right) \]puis déterminer sa somme.

Déterminer la nature de la série : \[ \sum_{n \geqslant 1}\frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n!}} \]

Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[ u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}. \]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.

On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à valeurs réelles telle que $u_0> 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=1-e^{-u_n}$.

1. Étudier la nature de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et déterminer sa limite si elle existe.
2. Étudier la nature de la série $\sum (-1)^nu_n$.
3. Étudier la nature de la série $\sum u_n^2$.
4. Étudier la nature de la série $\sum u_n$.