1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a $\sin(x)\leqslant x$.
2. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos(x)\geqslant 1-\frac{x^2}{2}$.

Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Exprimer $\sin(5\theta)$ en fonction de $\sin(\theta)$.

Résoudre l'équation d'inconnue $x \in \mathbb{R}$ :\[ \cos^4(x)-\sin^4(x)=1 \]

Résoudre l'équation d'inconnue $x$ dans $[\pi,\pi]$ :\[ \sin(2x)=\frac{1}{2}. \]

Calculer $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$ et $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$.

1. Soit $p,q$ des réels. Écrire, lorsque l'expression est définie, $\dfrac{\cos(q)-\cos(p)}{\sin(p)+\sin(q)}$ sous la forme $\tan(?)$ avec $?$ à déterminer.
2. En déduire $\tan(\frac{\pi}{24})$.

Calculer $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$ et $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{8}\right)$.

Résoudre les équations suivantes d'inconnues $x \in \mathbb{R}$ :

1. $3\cos(x)-\sqrt{3}\sin(x)=\sqrt{6}$.
2. $\cos^4(x)+\sin^4(x)=1$.

On considère la fonction $f:x \mapsto \cos^3(x)+\sin^3(x)$

1. Étudier $f$ sur $\mathbb{R}$
2. Résoudre l'équation $f(x)=1$.