Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $f_n:x \mapsto \frac{x^n}{1+x^n}$. Pour $n$ entier impair, $f_n$ n'est pas définie en $-1$ donc le domaine de $S$ est inclus dans $\mathbb{R}\smallsetminus\{-1\}$.

CVS sur $\mathbb{R} \smallsetminus\{-1\}$ : Soit $x \in \mathbb{R} \smallsetminus\{-1\}$. Étudions la nature de $\sum f_n(x)$.

• Si $|x|< 1$, on a :\[ |f_n(x)|=\frac{|x|^n}{1+x^n}\underset{\rightarrow+\infty}{\sim}|x|^n \]Or $|x|^n$ est le terme général d'une série convergente donc, par comparaison, $\sum f_n(x)$ converge absolument et donc converge.
  
• Si $|x|> 1$, comme $|x|^n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} +\infty$, on a \[ f_n(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x^n}} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 1 \neq 0 \] donc $\sum f_n(x)$ diverge grossièrement.
  
• Si $x = 1$, $f_n(x)=1$ donc $\sum f_n(x)$ diverge grossièrement.

Il en résulte que $\sum f_n(x)$ converge simplement sur $]-1,1[$ au plus donc le domaine de $S$ est $]-1,1[$.


Montrons que $S$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$.

• Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$ comme quotient de fonctions polynomiales dont le dénominateur ne s'annule pas. De plus, pour tout $x \in ]-1,1[$, on a : \[ f'_n(x)=\frac{nx^{n-1}}{(1+x^n)^2}. \]
• On a $\sum f_n(x)$ converge simplement sur $]-1,1[$ d'après ce qui précède.
  
• Étudions la convergence uniforme de $\sum f'_n$ (au moins) sur tout segment de $]-1,1[$.
  
  Soit $a \in ]0,1[$.
  CVN sur $[-a,a]$ de $\sum f'_n$ : Soit $n \in \mathbb{N}$. Pour tout $x \in [-a,a]$, on a : \[ |f'_n(x)|=\frac{n|x|^{n-1}}{(1+x^n)^2} \leqslant \frac{na^{n-1}}{(1-a^n)^2} \] Par suite, $f'_n$ est bornée sur $[-a,a]$ et on a, sur $[-a,a]$ : \[ \|f'_n\|_{\infty}\leqslant \frac{na^{n-1}}{(1-a^n)^2}\underset{\rightarrow+\infty}{\sim}na^{n-1} \] Or, comme $a \in ]0,1[$, $\sum na^{n-1}$ converge (en utilisant la règle de D'Alembert ou par comparaison à une série de Riemann convergente par exemple), donc, par comparaison, $\sum \|f'_n\|_{\infty}$ converge i.e. $\sum f'_n$ converge normalement sur $[-a,a]$.
  
  Ainsi, pour tout $a \in ]0,1[$, $\sum f'_n$ converge normalement et donc uniformément sur $[-a,a]$. Or, tout segment de $]-1,1[$ est inclus dans un intervalle de la forme $[-a,a]$, donc $\sum f'_n$ converge uniformément sur tout segment de $]-1,1[$.

Il en résulte que, d'après le théorème d'interversion dérivation/somme :

• la série $\sum f_n$ converge uniformément sur tout segment de $]-1,1[$;
• la fonction $S$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$ et on a, pour tout $x \in ]-1,1[$ : \[ S'(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{1+x^n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\frac{x^n}{1+x^n} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{nx^{n-1}}{(1+x^n)^2}. \]

• CVS sur $\mathbb{R}_+$.
  
  Soit $x \in \mathbb{R}$. Étudions la nature de $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$.
  Comme $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ et ainsi, d'après la caractérisation séquentielle de la continuité on a : \[ f\left(x+\frac{1}{n}\right)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f(x). \] Par suite, $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge.
  Ceci étant vrai pour tout $x \in \mathbb{R}$, la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ et ce, vers la fonction $f$.
• CVU sur $\mathbb{R}$.
  
  Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a : \[ |f_n(x)-f(x)| = \left|f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right| \] Comme $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $f'$ est bornée sur $\mathbb{R}$, d'après l'inégalité des accroissements finis, on a : \[ \left|f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right| \leqslant \|f'\|_{\infty}.\left(\left(x+\frac{1}{n}\right)-x\right)=\frac{\|f'\|_{\infty}}{n}. \] D'où $f_n-f$ est bornée sur $\mathbb{R}$ et : \[ \|f_n-f\|_{\infty}\leqslant \frac{\|f'\|_{\infty}}{n}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0. \] Par suite, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$.