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Exercice #604
Détails de l'exercice #604
Exercice enregistré par M. Arnt
Matière : Mathématiques
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Catégories :
En Mathématiques :
Analyse ⇐ Suites, séries ⇐ Suites et séries de fonctions ⇐ Suites de fonctions ⇐ Convergences simple et uniforme
En Mathématiques :
Analyse ⇐ Suites, séries ⇐ Suites et séries de fonctions ⇐ Suites de fonctions ⇐ Convergences simple et uniforme
Source : M. Arnt
Énoncé
Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée bornée sur $\mathbb{R}$.
On pose, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle f_n:x \mapsto f\left(x+\frac{1}{n}\right)$.
Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$.
On pose, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle f_n:x \mapsto f\left(x+\frac{1}{n}\right)$.
Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$.
Indications
Utiliser l'inégalité des accroissements finis.
Correction
- CVS sur $\mathbb{R}_+$.
Soit $x \in \mathbb{R}$. Étudions la nature de $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$.
Comme $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ et ainsi, d'après la caractérisation séquentielle de la continuité on a : \[ f\left(x+\frac{1}{n}\right)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f(x). \] Par suite, $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge.
Ceci étant vrai pour tout $x \in \mathbb{R}$, la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ et ce, vers la fonction $f$. - CVU sur $\mathbb{R}$.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a : \[ |f_n(x)-f(x)| = \left|f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right| \] Comme $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $f'$ est bornée sur $\mathbb{R}$, d'après l'inégalité des accroissements finis, on a : \[ \left|f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right| \leqslant \|f'\|_{\infty}.\left(\left(x+\frac{1}{n}\right)-x\right)=\frac{\|f'\|_{\infty}}{n}. \] D'où $f_n-f$ est bornée sur $\mathbb{R}$ et : \[ \|f_n-f\|_{\infty}\leqslant \frac{\|f'\|_{\infty}}{n}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0. \] Par suite, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$.
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