On note $\ell=1\text{cm}$ la longueur ajoutée à la corde, $R=6371\text{km}$ le rayon du cercle représentant la Terre.
Soit $M$ le point où la main tire la corde, $C$ le centre de la Terre, et $T$ un des deux points où la corde se "soulève" de la surface de la Terre. On pose $h$ la distance de $M$ au cercle de centre $C$ et de rayon $R$ (la Terre donc !)
Comme la droite est $(MT)$ est la tangente au cercle au point $T$, le triangle $MCT$ est rectangle en $T$. On pose $L$ la longueur $MT$ et on a $CT=R$, $CM=R+h$. Ainsi, on obtient, en posant $\theta=\widehat{MCT}$, \[ \cos(\theta)=\dfrac{R}{R+h}\;(1)\text{ et }\tan(\theta)=\dfrac{L}{R} \; (2).\]De plus, la longueur $c$ totale de la corde s'exprime de deux façons :

• en utilisant l'énoncé, cette longueur est égale au périmètre du cercle "Terre" plus $\ell$, d'où $c=2\pi R + \ell$;
  
• en utilisant le fait que la longueur d'un arc de cercle de rayon $r$ déterminé par un angle $\alpha$ est égale à $\alpha R$, on obtient, $c=(2\pi-2\theta)R+2L$.

Ainsi

$2\pi R + \ell=(2\pi-2\theta)R+2L$ donc $L=\theta R +\dfrac{\ell}{2}$.

En substituant $L$ dans $(2)$, on obtient $\theta$ la relation suivante entre $\theta$, $R$ et $\ell$ :\[ \tan(\theta)-\theta = \dfrac{\ell}{2R}.\]La fonction $f:[0,\pi/2[\rightarrow \mathbb{R}$ telle que $f:x \mapsto \tan(x)-x$ est continue, strictement croissante et donc bijective de $[0,\pi/2[$ sur son image de réciproque continue (bon exercice au passage). On est donc tenté de déterminer $f^{-1}$ puis de calculer $\theta=f^{-1}(\frac{\ell}{2R})$. Malheureusement, $f^{-1}$ ne s'exprime pas avec des fonctions usuelles, ce qui complique l'application numérique ! Deux choix s'offrent à nous pour déterminer une approximation de $\theta$ :

• Un développement limité de $f$ en $0$ : la quantité $\dfrac{\ell}{2R}$ étant petite, $f^{-1}$ étant continue en $0$ et de valeur $0$ en ce point, on peut supposer que $\theta$ est proche de $0$. Ainsi, on a, en utilisant un DL de tangente en $0$ à l'ordre $3$ : \[ \tan(\theta)-\theta \simeq \dfrac{\theta^3}{3}. \] Ainsi, on obtient l'approximation : \[ \theta \simeq \sqrt[3]{\dfrac{3\ell}{2R}} \simeq 0.0013303356. \]
• On peut également, pour être plus précis, utiliser une méthode numérique (par dichotomie par exemple) pour résoudre l'équation $\tan(x)-x=\dfrac{\ell}{2R}$. On obtient, à $10^{-11}$ près, \[ \theta \simeq 0.0013303353. \] Ainsi, on peut voir que notre approximation précédente était plutôt légitime.

On peut alors déterminer la hauteur $h$ grâce à l'équation $(1)$ qui nous donne :\[ h=R\left(\dfrac{1}{\cos(\theta)}-1\right)\simeq 5,64 m.\]Et donc conclusion : ça passe !.


Et maintenant, quelle est la longeur minimale qu'il faut rajouter à la corde pour que la tour Eiffel passe également ??