Exercices de la catégorie Suites, séries
0
Navigation : Mathématiques ⇐ Analyse ⇐ Suites, séries
Suites, séries : liste des exercices
Exercice #343
Énoncé
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(x) = e^{-nx}\sin(nx).
\]
- Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
- Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice #344
Énoncé
Étudier les convergence simple et uniforme sur $[0,1]$ de la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [0,1]$ : \[
f_n(t) = \begin{cases}
t^n\ln(t)&\text{ si }x> 0 \\
0&\text{ si }x=0.
\end{cases}
\]
Exercice #345
Énoncé
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(x) = \frac{1}{(1+x^2)^n}.
\]
- Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
- Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.
Exercice #604
Détails de l'exercice #604
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : M. Arnt
Énoncé
Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée bornée sur $\mathbb{R}$.
On pose, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle f_n:x \mapsto f\left(x+\frac{1}{n}\right)$.
Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$.
On pose, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle f_n:x \mapsto f\left(x+\frac{1}{n}\right)$.
Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$.
Indications
Utiliser l'inégalité des accroissements finis.
Correction
- CVS sur $\mathbb{R}_+$.
Soit $x \in \mathbb{R}$. Étudions la nature de $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$.
Comme $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ et ainsi, d'après la caractérisation séquentielle de la continuité on a : \[ f\left(x+\frac{1}{n}\right)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f(x). \] Par suite, $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge.
Ceci étant vrai pour tout $x \in \mathbb{R}$, la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ et ce, vers la fonction $f$. - CVU sur $\mathbb{R}$.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a : \[ |f_n(x)-f(x)| = \left|f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right| \] Comme $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $f'$ est bornée sur $\mathbb{R}$, d'après l'inégalité des accroissements finis, on a : \[ \left|f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right| \leqslant \|f'\|_{\infty}.\left(\left(x+\frac{1}{n}\right)-x\right)=\frac{\|f'\|_{\infty}}{n}. \] D'où $f_n-f$ est bornée sur $\mathbb{R}$ et : \[ \|f_n-f\|_{\infty}\leqslant \frac{\|f'\|_{\infty}}{n}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0. \] Par suite, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #346
Énoncé
Étudier les convergences simple, uniforme et normale sur $\mathbb{R}_+$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(t) = \frac{(-1)^n}{n+t}.
\]
Exercice #348
Énoncé
On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(x) = \frac{1}{n+n^2x}.
\]
- Montrer que $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+^*$. Est-ce toujours vrai sur $\mathbb{R}_+$ ?
- Étudier la convergence normale et uniforme de $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.
Exercice #347
Énoncé
Soit $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite décroissante à valeurs dans $\mathbb{R}_+$. On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $t \in [0,1]$ : \[
f_n(t) = \alpha_nt^n(1-t).
\]
- Montrer que $\sum f_n$ converge simplement sur $[0,1]$.
- Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $\sum f_n$ converge normalement sur $[0,1]$.
- Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0,1]$ si, et seulement si, $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$.
Exercice #349
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : t \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\ln(nt)}$.
- Montrer que $f$ est définie et continue sur $]1,+\infty[$.
- Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $1$.
- Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]1,+\infty[$.
- Dresser le tableau de variations de $f$.
Exercice #351
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(x+n).n!}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
- Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0,+\infty[$ en précisant les limites de $f$ aux bornes de cet intervalle.
- Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : \[ xf(x)-f(x+1)=\frac{1}{e}, \]
- En déduire des équivalents simples de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.
Exercice #350
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n\sin(nx)}{n}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^1$ sur $]-1,1[$.
- Montrer que, pour tout $x \in ]-1,1[$ : \[ f(x)=\text{arctan}\left(\frac{x\sin(x)}{1-x\cos(x)}\right). \]
Exercice #353
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
- Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0,+\infty[$ en précisant la limite de $f$ en $+\infty$.
- Grâce à une comparaison série/intégrale, déterminer un équivalent de $f$ en $0^+$.
Exercice #354
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{x(x+1)...(x+n)}$.
- Montrer que $f$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$ puis déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
- Pour $x \in ]0,+\infty[$, déterminer une relation entre $f(x+1)$ et $f(x)$ puis en déduire des équivalents simples de $f$ en $+\infty$ et $0^+$.
Exercice #545 Oral concours CCinP
Détails de l'exercice #545
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : BEOS #7541 Oral CCinP 2023
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $\displaystyle f_n(x) = \frac{2x}{x^2 + n^2}$.
- Justifier la convergence simple sur $\mathbb{R}$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}f_n$.
On note $S$ la somme de cette série de fonctions sur $\mathbb{R}$ :\[ S:x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x). \] - Justifier la continuité de $S$ sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} S(x) = \pi$.
Indications
- Déterminer un équivalent simple de $|f_n(x)|$ pour $x \neq 0$.
- Étudier la convergence normale sur $[-a,a]$ pour tout $a> 0$.
- Procéder par comparaison série/intégrale.
Correction
- CVS sur $\mathbb{R}$ :
Soit $x \in \mathbb{R}$. Étudions la nature de $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$.
Si $x = 0$, $f_n(0)=0$ est le terme général d'une série convergente.
Si $x \neq 0$,\[ |f_n(x)| \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{2|x|}{n^2} \]Or, $\frac{1}{n^2}$ est le terme général d'une série convergente, donc, $\frac{2|x|}{n^2}$ l'est aussi et ainsi, par comparaison, la série numérique $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ converge absolument et donc converge.
Par suite, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$.
(Et ainsi, $S$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.) - Vérifions les hypothèses du théorème de continuité des sommes de séries de fonctions.
- Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme quotient de fonctions continue sur $\mathbb{R}$ (car polynomiale) dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
- Montrons la convergence uniforme (au moins) sur tout segment de $\mathbb{R}$. Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$.
CVN sur $[-a,a]$ :
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour tout $x \in [-a,a]$, on a, comme $0\leqslant |x| \leqslant a$ : \[ |f_n(x)|=\frac{2|x|}{x^2+n^2}\leqslant \frac{2a}{n^2} \] Donc $f_n$ est bornée sur $[-a,a]$ et sur $[-a,a]$, $\|f_n\|_{\infty}\leqslant \frac{2a}{n^2}$ qui est le terme général d'une série convergente (comme dans la question 1).
Ainsi, par comparaison, $\sum_{n \geqslant 1} \|f_n\|_{\infty}$ converge i.e. $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge normalement sur $[-a,a]$, et ce, pour tout réel $a > 0$.
Comme tout segment de $\mathbb{R}$ est inclus dans un intervalle de la forme $[-a,a]$ avec $a> 0$, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge normalement sur tout segment de $\mathbb{R}$ et donc, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge uniformément sur tout segment de $\mathbb{R}$ car "CVN implique CVU". Ainsi, les hypothèses étant vérifiées, d'après le théorème de continuité des sommes de séries de fonctions, la fonction $S$ est continue sur $\mathbb{R}$. - D'après la remarque précédente, on ne peut pas appliquer le théorème d'interversion limite/somme (théorème de double limite pour les séries de fonctions).
Il faut trouver une autre façon de faire : par exemple, une comparaison série/intégrale (le terme général fait penser à quelque chose ressemblant à la dérivée de arctangente).
Fixons un réel $x > 0$. On pose $g:t\mapsto \frac{2x}{x^2+t^2}$. Alors $g$ est positive, continue et décroissante sur $\mathbb{R}_+$ donc, par comparaison série/intégrale : - $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ et $\int_0^{+\infty}g(t) \text{d}t$ sont de même nature et donc convergentes car $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ converge (question 1).
- Et de plus, on a : \[ \int_1^{+\infty}g(t) \text{d}t\leqslant S(x)=\sum_{n =1}^{+\infty} f_n(x) \leqslant \int_0^{+\infty}g(t) \text{d}t \] Or, on remarque que, pour $t \in \mathbb{R}_+$,\[ g(t)=\frac{2x}{x^2+t^2}=2\frac{\frac{1}{x}}{1+\left(\frac{t}{x}\right)^2} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right), \]donc :\[ \pi-2\textrm{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)=\left[2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right)\right]_1^{+\infty}\leqslant S(x) \leqslant \left[2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right)\right]_0^{+\infty} = \pi \]Et, ainsi, comme $\textrm{arctan}\left(\frac{1}{x}\right) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}0$, d'après le théorème des gendarmes, on obtient :\[ \lim_{x \rightarrow +\infty}S(x)=\pi. \]Remarque : Avec ce qu'on vient de calculer, on obtient une nouvelle façon de prouver qu'il n'y a pas CVU sur $\mathbb{R}$; en effet, par l'absurde, si $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ CVU sur $\mathbb{R}$, comme, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}0$, d'après le théorème d'interversion limite/somme, on a $\pi=\lim_{x \rightarrow +\infty}S(x)=0$. Contradiction !
Remarque : on aurait pu tenter la CVN sur $\mathbb{R}$ mais ça n'aurait pas fonctionné; en effet, on peut montrer que sur $\mathbb{R}$, $\|f_n\|_{\infty}=\frac{2}{n}$ (atteint en $x=n$) qui est le terme général d'une série divergente.
Et il n'y a pas CVU sur $\mathbb{R}$ non plus : en posant $x_n=n$, on vérifie que $\|R_n\|_{\infty}\geqslant R_n(x_n) \geqslant \frac{2}{5}$ (en restreignant la somme de $n+1$ à $2n$).
Exercice #601
Énoncé
Montrer que la fonction $\displaystyle S:x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{1+x^{n}}$ est de classe $C^1$ sur son domaine de définition.
Indications
Étudier la convergence simple de la série de fonctions associée pour déterminer le domaine de définition, puis obtenir la convergence uniforme sur tout segment de ce domaine via la convergence normale sur des intervalles appropriés.
Correction
Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $f_n:x \mapsto \frac{x^n}{1+x^n}$. Pour $n$ entier impair, $f_n$ n'est pas définie en $-1$ donc le domaine de $S$ est inclus dans $\mathbb{R}\smallsetminus\{-1\}$.
CVS sur $\mathbb{R} \smallsetminus\{-1\}$ : Soit $x \in \mathbb{R} \smallsetminus\{-1\}$. Étudions la nature de $\sum f_n(x)$.
Il en résulte que $\sum f_n(x)$ converge simplement sur $]-1,1[$ au plus donc le domaine de $S$ est $]-1,1[$.
Montrons que $S$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$.
Il en résulte que, d'après le théorème d'interversion dérivation/somme :
CVS sur $\mathbb{R} \smallsetminus\{-1\}$ : Soit $x \in \mathbb{R} \smallsetminus\{-1\}$. Étudions la nature de $\sum f_n(x)$.
- Si $|x|< 1$, on a :\[
|f_n(x)|=\frac{|x|^n}{1+x^n}\underset{\rightarrow+\infty}{\sim}|x|^n
\]Or $|x|^n$ est le terme général d'une série convergente donc, par comparaison, $\sum f_n(x)$ converge absolument et donc converge.
- Si $|x|> 1$, comme $|x|^n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} +\infty$, on a \[
f_n(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x^n}} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 1 \neq 0
\] donc $\sum f_n(x)$ diverge grossièrement.
- Si $x = 1$, $f_n(x)=1$ donc $\sum f_n(x)$ diverge grossièrement.
Il en résulte que $\sum f_n(x)$ converge simplement sur $]-1,1[$ au plus donc le domaine de $S$ est $]-1,1[$.
Montrons que $S$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$.
- Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$ comme quotient de fonctions polynomiales dont le dénominateur ne s'annule pas. De plus, pour tout $x \in ]-1,1[$, on a : \[ f'_n(x)=\frac{nx^{n-1}}{(1+x^n)^2}. \]
- On a $\sum f_n(x)$ converge simplement sur $]-1,1[$ d'après ce qui précède.
- Étudions la convergence uniforme de $\sum f'_n$ (au moins) sur tout segment de $]-1,1[$.
Soit $a \in ]0,1[$.
CVN sur $[-a,a]$ de $\sum f'_n$ : Soit $n \in \mathbb{N}$. Pour tout $x \in [-a,a]$, on a : \[ |f'_n(x)|=\frac{n|x|^{n-1}}{(1+x^n)^2} \leqslant \frac{na^{n-1}}{(1-a^n)^2} \] Par suite, $f'_n$ est bornée sur $[-a,a]$ et on a, sur $[-a,a]$ : \[ \|f'_n\|_{\infty}\leqslant \frac{na^{n-1}}{(1-a^n)^2}\underset{\rightarrow+\infty}{\sim}na^{n-1} \] Or, comme $a \in ]0,1[$, $\sum na^{n-1}$ converge (en utilisant la règle de D'Alembert ou par comparaison à une série de Riemann convergente par exemple), donc, par comparaison, $\sum \|f'_n\|_{\infty}$ converge i.e. $\sum f'_n$ converge normalement sur $[-a,a]$.
Ainsi, pour tout $a \in ]0,1[$, $\sum f'_n$ converge normalement et donc uniformément sur $[-a,a]$. Or, tout segment de $]-1,1[$ est inclus dans un intervalle de la forme $[-a,a]$, donc $\sum f'_n$ converge uniformément sur tout segment de $]-1,1[$.
Il en résulte que, d'après le théorème d'interversion dérivation/somme :
- la série $\sum f_n$ converge uniformément sur tout segment de $]-1,1[$;
- la fonction $S$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$ et on a, pour tout $x \in ]-1,1[$ : \[ S'(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{1+x^n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\frac{x^n}{1+x^n} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{nx^{n-1}}{(1+x^n)^2}. \]
Exercice #352
Énoncé
Montrer que la fonction $\displaystyle \eta: s \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
Exercice #364
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum_{n \geqslant 2} \frac{\sqrt{n}}{\ln(n)}z^{2n}.
\]
Exercice #366
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum e^{-\sqrt{n}}z^{n}.
\]
Exercice #367
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum \frac{8^n(n+\sqrt{n})}{n^2+4}z^{3n}.
\]
Exercice #368
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum \frac{\cos(n)}{n}z^{n}.
\]
Exercice #365
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum \ln(n!)^2z^{n}.
\]
Exercice #369
Énoncé
Soit $\displaystyle \sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence noté $R$. Déterminer la rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum a_n^2 z^n$.
Exercice #374
Énoncé
On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{\sqrt{n}}z^n$ de somme notée $S$.
- Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
- Étudier les continuité/limites de $S$ aux bornes de l'intervalle $]-R,R[$.
Exercice #370
Énoncé
Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tel que : \[
\begin{cases}
a_0=1 \text{ et }a_1=0 \\
a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n\text{ pour }n \in \mathbb{N}
\end{cases}
\] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Exercice #372
Énoncé
On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)}{n}z^n$ de somme notée $S$.
- Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
- Exprimes $S$ à l'aide de fonctions usuelles sur $]-R,R[$.
Exercice #371
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
a_n=\text{Card}\left\lbrace (p,q) \in \mathbb{N}^2 \; | \; p+3q = n \right\rbrace.
\] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Exercice #373
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$. On considère la série entière $\sum \text{Tr}(A^n)z^n$.
Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.
Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.
Exercice #376
Énoncé
Montrer que la fonction $\displaystyle f: x \mapsto
\begin{cases}
\frac{1-\cos(2x)}{x^2}&\text{ si }x \in \mathbb{R}^* \\
2&\text{ si }x=0
\end{cases}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #378
Énoncé
Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[
f:x \mapsto \ln(x^2-6x+8)
\]
Exercice #379
Énoncé
Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[
f:x \mapsto \int_0^x \text{sh}(t^3)\text{d}t.
\]
Exercice #380
Énoncé
On considère la fonction $f:x \mapsto \text{arcsin}(x)^2$.
- Déterminer une relation reliant $f''$ et $f'$ sur $]-1,1[$.
- En déduire le développement en série entière de $f$.
Exercice #400
Énoncé
On pose, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[
I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^n(t)\text{d}t.
\]
- Calculer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
- Pour $n \in \mathbb{N}$, établir une relation entre $I_n$ et $I_{n+2}$ puis en déduire une expression de $I_{2n}$ et de $I_{2n+1}$ sous forme de somme.
- Application : justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes \[
\sum \frac{(-1)^n}{2n+1} \text{ et }\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}.
\]
Exercice #401
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
I_n = \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^2(1+t^n)}\text{d}t.
\]
- Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #402
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}_+$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
I_n = \int_0^{+\infty}\frac{nf(t)}{1+n^2t^2}\text{d}t.
\]
- Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #407
Énoncé
Montrer l'égalité :\[
\int_0^1 \frac{\ln(t)^2}{1+t^2}\text{d}t = 2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}.
\]
Exercice #408
Énoncé
Montrer l'égalité :\[
\int_0^1 \frac{1}{t^t}\text{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}.
\]
Exercice #421
Énoncé
Montrer que la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{(n+m^2)(n+m^2+1)}\right)_{(n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*}$ est sommable et déterminer sa somme.
Exercice #422
Énoncé
Montrer que la famille $\displaystyle \left(\frac{n+m}{3^{n+m}}\right)_{(n,m) \in \mathbb{N}^2}$ est sommable et déterminer sa somme.
Exercice #420
Énoncé
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On considère la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{(n^2+m^2)^{\alpha}}\right)_{(n,m)\in (\mathbb{N}^*)^2}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la valeur de $\alpha$ pour que cette famille soit sommable.
Exercice #328
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix}
-3&1&3 \\
1&-3&3 \\
-5&5&1
\end{pmatrix}$.
Exercice #329
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix}
4&-1&-3 \\
1&2&-3 \\
-1&1&6
\end{pmatrix}$.
Exercice #590
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $p$ un projecteur de $E$. Calculer $\text{exp}(p)$.
Exercice #593
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_p(\mathbb{R})$ telle que $A^2=-A$. Calculer $\text{exp}(A)$.
Exercice #330
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix}
0&-1&1 \\
6&-5&2 \\
-3&1&-4
\end{pmatrix}$.
Exercice #591
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $s$ une symétrie de $E$. Calculer $\text{exp}(s)$.
Exercice #594
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_p(\mathbb{R})$ telle que $A^2=A+I_p$. On note $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Montrer que : \[
\text{exp}(A)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\varphi e^{-\frac{1}{\varphi}}+\frac{1}{\varphi} e^{\varphi}\right)I_p+\left(e^{\varphi}-e^{-\frac{1}{\varphi}}\right)A\right).
\]
Exercice #599
Énoncé
Montrer la convergence de la série associé à la somme : \[
\sum_{n=0}^{+\infty}n4^{-n}
\] puis la calculer à l'aide d'un produit de Cauchy.
Exercice #334
Énoncé
On considère la série : \[
\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
\]
- Montrer que cette série est divergente et déterminer un équivalent simple (noté $v_n$ dans la suite) de sa somme partielle $S_n$.
- Montrer qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que : \[ S_n-v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\alpha. \] On rappelle que $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} -\ln(n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \gamma $ où $\gamma$ est la constante d'Euler.
Exercice #595
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum \frac{1}{\ln(1+4^{-n})}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #598
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \frac{\ln(n)}{n!}$ converge puis déterminer un équivalent simple de son reste $R_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #596
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[
\begin{cases}
u_0=1 &\\
u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}&\textrm{ pour }n\in\mathbb{N}
\end{cases}
\]
- Montrer que la suite est bien définie puis après avoir justifié son existence, déterminer sa limite.
- Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
Exercice #597
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{4^n}{n}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #562
Énoncé
Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}.
\]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.
Exercice #332
Énoncé
Déterminer la nature de la série : \[
\sum_{n \geqslant 1}\frac{1}{n^{(1+\frac{1}{n})}}
\]
Exercice #555
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}-\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}.
\]
Exercice #561
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}.
\]
Exercice #560
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{n^2-2}{n!}.
\]
Exercice #561
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}.
\]
Exercice #559
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[
u_n = \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)
\]puis déterminer sa somme.
Exercice #558
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}.
\]
Exercice #559
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[
u_n = \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)
\]puis déterminer sa somme.
Exercice #331
Énoncé
Déterminer la nature de la série : \[
\sum_{n \geqslant 1}\frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n!}}
\]
Exercice #562
Énoncé
Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}.
\]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.
Exercice #563
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à valeurs réelles telle que $u_0> 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=1-e^{-u_n}$.
- Étudier la nature de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et déterminer sa limite si elle existe.
- Étudier la nature de la série $\sum (-1)^nu_n$.
- Étudier la nature de la série $\sum u_n^2$.
- Étudier la nature de la série $\sum u_n$.
Exercice #415
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}.
\]
Exercice #416
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[
u_n=\frac{\ln(1+n^3)}{2n+\sqrt{n}+1}.
\]
Exercice #418
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=n^2\left(1+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n.
\]
Exercice #414
Énoncé
On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[
u_n = \sum_{k=0}^n k!.
\]Montrer que $u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}n!$.
Exercice #292
Énoncé
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$ telle que :\[
\frac{u_{n+1}}{u_n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0
\]Montrer que $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge et déterminer sa limite.
Exercice #290
Énoncé
Soit $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
\]
- Montrer que, pour tout entier $n$ non nul, $H_{2n}-H_n \geqslant \frac{1}{2}$. En déduire que $H_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
- Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite à valeurs réelles. Montrer que si $n(u_{n+1}-u_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$, alors $u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
Exercice #274
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[
u_n=\frac{n!}{n^n}
\]
Exercice #276
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \text{ où }x \in \mathbb{R}
\]
Exercice #277
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=\sqrt[n]{n}
\]
Exercice #278
Énoncé
Montrer que la suite $(\cos(n))_{n \in \mathbb{N}}$ diverge.
Exercice #306
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1& \\
u_{n+1}= \sqrt{u_n+1}&\text{ pour }n \in \mathbb{N}
\end{cases}
\]
- Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie.
- Déterminer la nature de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #596
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[
\begin{cases}
u_0=1 &\\
u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}&\textrm{ pour }n\in\mathbb{N}
\end{cases}
\]
- Montrer que la suite est bien définie puis après avoir justifié son existence, déterminer sa limite.
- Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
Exercice #287
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1,\; u_1=2& \\
u_{n+2}=u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Exercice #288
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1,\; u_1=-1& \\
2u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Exercice #284
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=0 \\
u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Exercice #280
Énoncé
Soit $\theta \in ]0,\pi/2[$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
s_n=2^n\sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right) \text{ et }t_n=2^n\tan\left(\frac{\theta}{2^n}\right)
\]Montrer que les suites $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont adjacentes. En déduire qu'elles convergent et déterminer leurs limites.
Exercice #281
Énoncé
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites définies, pour $n \in \mathbb{N}$,par :\[
u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\text{ et }v_n=u_n+\frac{1}{n.n!}
\]
- Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont des suites adjacentes.
On admettra dans la suite que leur limite commune est le nombre $e$. - Montrer par l'absurde que $e$ est irrationnel.
Classexo 2026 || Contacts || Conseils d'utilisation