Exercices de la catégorie Analyse
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Analyse : liste des exercices
Exercice #85
Énoncé
On considère $E=\mathbb{K}[X]$ où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Pour $P \in E$, on pose :\[
\|P\| = \int_0^{+\infty}|P(t)|e^{-t}\text{d}t.
\]
- Montrer que $\|\cdot\|$ est bien définie sur $E$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
- Soit $n \in \mathbb{N}$. On note $P_n=X^n$. Calculer $\|P_n\|$.
Exercice #78
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $A \in M_n(\mathbb{R})$, on note :\[
\|A\|=\sqrt{\text{Tr}\left({}^{t}\mkern-3mu AA\right)}.
\]
- Montrer que l'application $\|\cdot\|$ est bien définie sur $M_n(\mathbb{R})$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
- Montrer que $\|\cdot\|$ est de plus une norme d'algèbre sur $M_n(\mathbb{R})$ i.e. pour tout $A,B \in M_n(\mathbb{R})$ : \[ \|AB\|\leqslant \|A\|.\|B\| \]
Exercice #80
Énoncé
On considère l'application $N: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, par :\[
N(x,y) = \max\left(\sqrt{x^2+y^2},|x-y|\right).
\]
- Montrer que l'application $N$ est bien définie sur $\mathbb{R}^2$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
- Dessiner la boule unité fermée de cette norme.
Exercice #81
Énoncé
On considère l'application $N: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, par :\[
N(x,y) = \int_{0}^1\left|x+ty\right| \text{d}t.
\]
- Montrer que l'application $N$ une norme sur $\mathbb{R}^2$.
- Pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, remarquer que $N(x,y)=N(-x,-y)$ puis déterminer $N(x,y)$ une expression explicite (i.e. sans intégrale) de $N(x,y)$ en fonction de $x,y$.
Exercice #82 Norme matricielle subordonnée
Énoncé
On note $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ On munit $M_{n,1}(\mathbb{K})$ de la norme infinie $\|\cdot\|_{\infty}$ i.e. pour $X=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \in M_{n,1}(\mathbb{K})$, $\displaystyle\|X\|_{\infty}= \max_{1\leqslant i \leqslant n}(|x_i|)$ et $S$ la sphère unité associée à cette norme.
On pose, pour $A \in M_n(\mathbb{K})$ :\[ N(A)=\sup_{X \in S}\left(\|AX\|\right). \]
On pose, pour $A \in M_n(\mathbb{K})$ :\[ N(A)=\sup_{X \in S}\left(\|AX\|\right). \]
- Montrer que l'application $N$ est bien définie sur $M_n(\mathbb{R})$ et que pour tout $Y \in M_{n,1}(\mathbb{K})$, $\|AY\|\leqslant N(A)\|Y\|$.
- Montrer que $N$ est une norme sur $M_n(\mathbb{K})$.
- Montrer que, pour tout $A \in M_n(\mathbb{K})$ : \[ N(A)= \sup_{1\leqslant i \leqslant n} \left(\sum_{j=1}^n |a_{ij}|\right). \]
Exercice #222
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $F$ un fermé non vide de $E$ et $x \in E$. Montrer que $d(x,F)=0$ si, et seulement si, $x \in F$.
Exercice #86
Énoncé
Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $d$ la distance associée à $\|\cdot\|$.
Soit $x_0,y_0 \in E$ et $r,s \in \mathbb{R}_+^*$. Montrer (ici $B(\cdot,\cdot)$ désigne une boule ouverte) :
Soit $x_0,y_0 \in E$ et $r,s \in \mathbb{R}_+^*$. Montrer (ici $B(\cdot,\cdot)$ désigne une boule ouverte) :
- $B(x_0,r)=B(y_0,s) \; \Leftrightarrow \; x_0=y_0 \text{ et } r=s$.
- $B(x_0,r)+B(y_0,s) = B(x_0+y_0,r+s)$.
- $B(x_0,r)\cap B(y_0,s) \neq \emptyset \; \Leftrightarrow \; d(x_0,y_0) < r+s$.
Indications
Faire des dessins dans $\mathbb{R}^2$ avec la norme euclidienne !
Exercice #113
Énoncé
On considère l'espace vectoriel $\ell^{\infty}$ des suites à valeurs réelles bornées muni de sa norme canonique $\|\cdot\|_{\infty}$. On considère l'application $N: \ell^{\infty} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $u=(u_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$, par :\[
N(u)=\sup_{n \in \mathbb{N}}(|u_n|+|u_{2n}|).
\]Montrer que $N$ est une norme sur $\ell^{\infty}$ et qu'elle est équivalente à $\|\cdot\|_{\infty}$.
Exercice #586
Énoncé
Pour $P \in \mathbb{R}[X]$, on pose : \[
\|P\|_{\infty}= \sup_{t \in [0,1]}\left(|P(t)|\right)\text{ et } \|P\| = \sup_{t \in [0,1]}\left(|(P-P')(t)|\right).
\] On admet que $\|\cdot\|_{\infty}$ est une norme sur $\mathbb{R}[X]$.
- Montrer que $\|\cdot\|$ est une norme sur $\mathbb{R}[X]$.
- Les normes $\|\cdot\|_{\infty}$ et $\|\cdot\|$ sont-elles équivalentes ?
Exercice #112
Énoncé
On considère les normes $\|\cdot\|_a$, $\|\cdot\|_b$ et $\|\cdot\|_c$ sur $\mathbb{R}[X]$ définies, pour $P=\sum_{k=0}^{+\infty}a_k X^k \in \mathbb{R}[X]$, par :\[
\|P\|_a=\sum_{k=0}^{+\infty}|a_k|,\;\|P\|_b= \sup_{k \in \mathbb{N}}(|a_k|) \text{ et } \|P\|_c=\sup_{t \in [-1,1]}(|P(t)|).
\]Montrer que ces normes sont deux à deux non équivalentes.
Exercice #116
Énoncé
On considère l'espace vectoriel $\mathcal{F}_b([0,1],\mathbb{R})$ des fonctions bornées de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ muni de sa norme canonique $\|\cdot\|_{\infty}$. On note $E=\{ f \in C^1([0,1],\mathbb{R}) \; | \; f(0)=0 \}$. On considère les applications $N,N':E\rightarrow \mathbb{R}$, définies, pour $f \in E$, par :\[
N(f)=\|f\|_{\infty}+\|f'\|_{\infty} \text{ et }N'(f)=\|f+f'\|_{\infty}.
\]
- Montrer que $N$ et $N'$ sont bien définies sur $E$ et que ce sont des normes sur cet espace.
- Comparer les normes $N$ et $N'$.
Exercice #207
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; y > 1 \} \text{ dans }(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2).
\]
Correction
Soit $(x_0,y_0) \in A$. Posons $r = \frac{y_0-1}{33}$. Comme $(x_0,y_0) \in A$, on a $y_0 > 1$ d'où $r > 0$ et $r < y_0-1$.
Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in A$ i.e. $y> 1$.
On a : \[ y_0-y \leqslant |y-y_0|\leqslant \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_2\leqslant r \] donc \[ y \geqslant y_0-r > y_0-(y_0-1)=1. \] Par suite, $(x,y) \in A$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$.
Il en résulte que $A$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.
Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in A$ i.e. $y> 1$.
On a : \[ y_0-y \leqslant |y-y_0|\leqslant \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_2\leqslant r \] donc \[ y \geqslant y_0-r > y_0-(y_0-1)=1. \] Par suite, $(x,y) \in A$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$.
Il en résulte que $A$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.
Exercice #208
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^3\leqslant y \}\text{ dans }(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2).
\]
Correction
On considère le point $(0,0) \in B$. Soit $r > 0$. Alors le point $(0,-r)$ appartient à $B_f((0,0),r)$ car : \[
\|(0,0)-(0,-r)\|_2 = \|(0,r)\|_2=r \leqslant r.
\] Or on a $0^3=0 > -r$, donc $B_f((0,0),r)$ n'est pas inclus dans $B$ et ce, quelque soit $r > 0$.
Par suite, $B$ n'est pas un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.
Par suite, $B$ n'est pas un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.
Exercice #209
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
C=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; y < x\}\text{ dans }(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1).
\]
Correction
Soit $(x_0,y_0) \in C$. Posons $r = \frac{x_0-y_0}{33}$. Comme $(x_0,y_0) \in C$, on a $x_0 > y_0$ d'où $r > 0$ et $r < x_0-y_0$.
Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in C$ i.e. $y < x$.
On a : \[ (y-x) +(x_0-y_0) = x_0-x+y-y_0 \leqslant |x-x_0|+|y-y_0| = \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_1 \leqslant r \] donc \[ x-y \geqslant (x_0-y_0) - r > 0. \] Par suite, $(x,y) \in C$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$.
Il en résulte que $C$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1)$.
Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in C$ i.e. $y < x$.
On a : \[ (y-x) +(x_0-y_0) = x_0-x+y-y_0 \leqslant |x-x_0|+|y-y_0| = \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_1 \leqslant r \] donc \[ x-y \geqslant (x_0-y_0) - r > 0. \] Par suite, $(x,y) \in C$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$.
Il en résulte que $C$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1)$.
Exercice #206
Énoncé
On considère l'espace $E=C([0,1],\mathbb{R})$. L'ensemble :\[
F = \{f \in E \; | \; \int_0^{\frac{1}{2}}f(t) \,\text{d}t \leqslant 0\}
\]est-il un fermé de ...
- $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ ?
- $(E,\|\cdot\|_1)$ ?
Exercice #210
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
D = \{ f \in C([0,1],\mathbb{R}) \; | \; \forall\,x \in [0,1], \; f(x) > 0 \}\text{ dans }(C([0,1],\mathbb{R}),\|\cdot\|_{\infty}).
\]
Correction
Soit $f \in D$. La fonction $f$ est continue sur le segment $[0,1]$ donc elle y est bornée et y atteint ses bornes. Notons $m$ son minimum sur $[0,1]$.
Alors $B_f(f,\frac{m}{2}) \subset D$. En effet, si $g \in B_f(f,\frac{m}{2})$, alors, pour tout $x \in [0,1]$, \[ f(x)-g(x)\leqslant |g(x)-f(x)|\leqslant \|f-g\|_{\infty} \leqslant \frac{m}{2}. \] Ainsi, on a : \[ g(x) \geqslant f(x)-\frac{m}{2} > f(x)-m \geqslant 0 . \] Donc $g$ est strictement positive sur $[0,1]$.
Il en résulte que $D$ est un ouvert de $C([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme infinie.
Alors $B_f(f,\frac{m}{2}) \subset D$. En effet, si $g \in B_f(f,\frac{m}{2})$, alors, pour tout $x \in [0,1]$, \[ f(x)-g(x)\leqslant |g(x)-f(x)|\leqslant \|f-g\|_{\infty} \leqslant \frac{m}{2}. \] Ainsi, on a : \[ g(x) \geqslant f(x)-\frac{m}{2} > f(x)-m \geqslant 0 . \] Donc $g$ est strictement positive sur $[0,1]$.
Il en résulte que $D$ est un ouvert de $C([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme infinie.
Exercice #211
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
E = \{ f \in C(\mathbb{R},\mathbb{R}) \; | \; \forall\,x \in \mathbb{R}, \; f(x) > 0 \}\text{ dans }(C(\mathbb{R},\mathbb{R}),\|\cdot\|_{\infty}).
\]
Correction
Considérons $f:t \mapsto e^{-t^2}$. Comme $f$ tend vers $0$ en $\pm\infty$, pour tout $r > 0$, on pourra trouver une fonction dans $B_f(f,r)$ dont le graphe passe en dessous de l'axe des abscisses pour $|t|$ assez grand; $E$ n'est donc pas un ouvert.
Plus précisément, étant donné $r > 0$, exhibons une fonction $g \in B_f(f,r)$ qui n'est pas dans $E$.
On note $M=\begin{cases} \sqrt{-\ln(r)}&\text{ si }r\leqslant 1 \\ 0&\text{ si }r > 1 \end{cases}$.
Alors, pour $|t| > M$, par stricte décroissance de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}_+$ : \[ f(t)-r=f(|t|)-r < f(M)-r= e^{-M^2}-r=\begin{cases} 0\leqslant 0&\text{ si }r\leqslant 1 \\ 1-r \leqslant 0&\text{ si }r > 1 \end{cases}. \] Donc la fonction $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, définie, pour $t \in \mathbb{R}$, par $g(t)=f(t)-r$ appartient à la boule $B_f(f,r)$ car $\|f-g\|_{\infty}=r$ et n'est pas strictement positive car, d'après ce qui précéde, pour tout $|t| > M$, $g(t) < 0$. D'où $g \notin E$.
Plus précisément, étant donné $r > 0$, exhibons une fonction $g \in B_f(f,r)$ qui n'est pas dans $E$.
On note $M=\begin{cases} \sqrt{-\ln(r)}&\text{ si }r\leqslant 1 \\ 0&\text{ si }r > 1 \end{cases}$.
Alors, pour $|t| > M$, par stricte décroissance de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}_+$ : \[ f(t)-r=f(|t|)-r < f(M)-r= e^{-M^2}-r=\begin{cases} 0\leqslant 0&\text{ si }r\leqslant 1 \\ 1-r \leqslant 0&\text{ si }r > 1 \end{cases}. \] Donc la fonction $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, définie, pour $t \in \mathbb{R}$, par $g(t)=f(t)-r$ appartient à la boule $B_f(f,r)$ car $\|f-g\|_{\infty}=r$ et n'est pas strictement positive car, d'après ce qui précéde, pour tout $|t| > M$, $g(t) < 0$. D'où $g \notin E$.
Exercice #212
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
F = \{ u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \; | \; u \text{ converge vers }33 \}\text{ dans }(\ell^{\infty},\|\cdot\|_{\infty})
\] où $\ell^{\infty}$ est l'ensemble des suites à valeurs réelles bornées.
Correction
La suite $c=(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ constante en $33$ appartient à $F$. Soit $r > 0$. On considère la suite $u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$ par : \[
u_n = 33+(-1)^nr
\] Alors :
- $\|u\|_{\infty}=33+r$ donc $u \in \ell^{\infty}$.
- $\|u-c\|_{\infty}=r$ donc $u \in B_f(c,r)$.
- $u$ ne converge pas (elle possède $2$ valeurs d'adhérence distinctes $33-r$ et $33+r$) donc $u \notin F$.
Exercice #205
Énoncé
On considère l'espace $E=C([0,1],\mathbb{R})$. L'ensemble :\[
U = \{f \in E \; | \; f(0) > 0\}
\]est-il un ouvert de ...
- $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ ?
- $(E,\|\cdot\|_1)$ ?
Exercice #225
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert / un fermé de $\mathbb{R}^2$ puis calculer son intérieur et son adhérence.\[
A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; 2x+y > 1 \}.
\]
Exercice #226
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert / un fermé de $\mathbb{R}^3$ puis calculer son intérieur et son adhérence.\[
A=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; x^2+y^2+z^2 \leqslant 4 \}.
\]
Exercice #228
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert / un fermé de $\mathbb{R}^2$ puis calculer son intérieur et son adhérence.\[
A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; |x-1|> 0 \}.
\]
Exercice #223
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
- On suppose que $F$ contient un ouvert non vide de $E$. Montrer que $F=E$.
- On suppose que $F \neq E$. Déterminer l'intérieur de $F$.
Exercice #227
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A$ une partie convexe de $E$. Montrer que l'adhérence et l'intérieur de $A$ sont des parties convexes de $E$.
Exercice #229
Énoncé
Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$. On pose, pour $f \in E$,\[
\varphi(f)=f(1)-f(0)
\]
- Montrer que $\varphi$ est continue de $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ dans $(\mathbb{R},|\cdot|)$ mais pas de $(E,\|\cdot\|_{1})$ dans $(\mathbb{R},|\cdot|)$.
- Déterminer la norme subordonnée (d'opérateur) de $\varphi$ induite par $\|\|_{\infty}$ sur $E$ et $|\cdot|$ sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que $F=\{f \in E \; | \; f(0)=f(1)\}$ est-il un fermé de $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ ? de $(E,\|\cdot\|_{1})$ ?
Exercice #230
Énoncé
On considère l'espace vectoriel $\ell^{\infty}$ des suites à valeurs réelles bornées muni de sa norme canonique $\|\cdot\|_{\infty}$. On pose, pour $u=(u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$, $\varphi(u)=(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[
v_n=u_{n+1}-u_n.
\]
- Montrer que l'application $\varphi$ est continue de $(\ell^{\infty},\|\cdot\|_{\infty})$ dans lui-même.
- Déterminer la norme subordonnée (d'opérateur) de $\varphi$ induite par $\|\cdot\|_{\infty}$ au départ et à l'arrivée.
Exercice #231
Énoncé
Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme $\|\cdot\|_1$ i.e. pour $f \in E$, $\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)| \text{d}t$. Pour $f \in E$, on pose $\varphi(f)=F$ où $F$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $0$.
- Montrer que $\varphi$ est continue de $(E,\|\cdot\|_{1})$ dans lui-même.
- Déterminer la norme subordonnée (d'opérateur) de $\varphi$ induite par $\|\cdot\|_{1}$ sur $E$ au départ et à l'arrivée.
Exercice #251
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A, B \subset E$. Montrer que si $A$ et $B$ sont des parties compactes de $E$, alors \[
A+B = \{a+b \; | \; a\in A,\; b \in B\}
\] est une partie compacte de $E$.
Exercice #254
Énoncé
L'ensemble suivant est-il une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ ? \[
C = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2-xy+y^2 \leqslant 4 \right\rbrace.
\]
Exercice #255
Énoncé
L'ensemble suivant est-il une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ ? \[
C = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^3+y^3 = 1 \right\rbrace.
\]
Exercice #588
Énoncé
Montrer que l'ensemble suivant est une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ : \[
A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2+2y^2 \leqslant 1\}
\]
Exercice #253
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $U$ une partie ouverte de $E$ et $C$ une partie compacte non vide de $E$. Montrer que si $C \subset U$, alors il existe $r> 0$ tel que, pour tout $x \in C$ : \[
B(x,r)\subset U.
\]
Exercice #260
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension $n \in \mathbb{N}^*$ et $f \in \mathcal{L}(E)$. Montrer qu'il existe $x_0 \in E$ unitaire tel que : \[
{\left\vert\kern-0.25ex\left\vert\kern-0.25ex\left\vert f
\right\vert\kern-0.25ex\right\vert\kern-0.25ex\right\vert} = \|f(x_0)\|
\] où ${\left\vert\kern-0.25ex\left\vert\kern-0.25ex\left\vert \cdot
\right\vert\kern-0.25ex\right\vert\kern-0.25ex\right\vert}$ est la norme subordonnée associé à $\|\cdot\|$ au départ et à l'arrivée.
Exercice #252
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $C\subset E$ un compact non vide et $f$ une application de $C$ dans $C$ telle que, pour tous $x,y \in C$ avec $x \neq y$ : \[
\|f(x)-f(y)\|< \|x-y\|.
\]
- Montrer que $f$ admet un unique point fixe i.e. $\exists !\, x_0 \in C$, $f(x_0)=x_0$.
- Soit $x \in C$. Montrer que la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $u_0=x$ et, pour $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
Exercice #261
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $E=\mathbb{R}_n[X]$. Montrer qu'il existe $C \in \mathbb{R}_+^*$ tel que, pour tout $P \in E$ : \[
\int_0^{+\infty}|P(t)|e^{-t}\text{d}t \leqslant C\, .\max_{0 \leqslant k \leqslant n}\left(|P^{(k)}(1)|\right).
\]
Exercice #588
Énoncé
Montrer que l'ensemble suivant est une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ : \[
A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2+2y^2 \leqslant 1\}
\]
Exercice #589
Énoncé
Les ensembles suivants sont-ils des ouverts ? fermés ? compacts de $\mathbb{R}^2$ ?
- $A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2+y^2 \leqslant 1-2xy\}$;
- $B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; 1 < x+3y < 2\}$;
- $B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; 1 \leqslant 2|x|+|y| \leqslant 2\}$.
Exercice #256
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A,B$ des parties connexes par arcs de $E$.
- Montrer que $A\times B$ est connexe par arcs dans $E\times E$ muni de la norme produit.
- Montrer que $A+B=\{a+b \; | \; a \in A,\, b \in B\}$ est connexe par arcs.
Exercice #257
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $n\geqslant 2$ un entier et $A_1,...,A_n$ des parties connexes par arcs de $E$ telles que, pour tout $i \in \;[\!\!\![\; 1,n-1 \;]\!\!\!]\;$, $A_i \cap A_{i+1} \neq \emptyset$.
Montrer que $\displaystyle A=\bigcup_{i=1}^n A_i$ est connexe par arcs.
Montrer que $\displaystyle A=\bigcup_{i=1}^n A_i$ est connexe par arcs.
Exercice #259
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathcal{N}=\{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \; | \; \exists\,p \in \mathbb{N}, \; M^p= 0_n\}$ l'ensemble des matrices nilpotentes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Montrer que $\mathcal{N}$ est une partie connexe par arcs de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Montrer que $\mathcal{N}$ est une partie connexe par arcs de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Exercice #258 $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs
Énoncé
- Soit $k \in \mathbb{N}^*$ et $z_1,...,z_k \in \mathbb{C}$. Montrer que $\mathbb{C}\smallsetminus\{z_1,...,z_k\}$ est connexe par arcs.
- En s'appuyant sur l'application $t\mapsto\text{det}((1-t)M+tN)$ avec $M,N \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$, en déduire que $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs.
Exercice #582
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $A,B$ des parties convexes de $E$. On note :\[
C= \left\{\frac{1}{2}(a+b) \; | \; a \in A, \, b \in B\right\}.
\]Montrer que $C$ est une partie convexe de $E$.
Exercice #583
Énoncé
On note :\[
C = \{(x,y) \; | \; y < x\}.
\]Montrer que $C$ est une partie convexe de $\mathbb{R}^2$.
Exercice #584
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $A,B$ des parties convexes de $E$.
Les ensembles $A\cap B$ et $A \cup B$ sont-ils des parties convexes de $E$ ? Justifier.
Les ensembles $A\cap B$ et $A \cup B$ sont-ils des parties convexes de $E$ ? Justifier.
Exercice #585
Énoncé
- Soit $E,F$ des espaces vectoriels et $A,B$ des parties convexes de $E$ et $F$ respectivement. Montrer que $A\times B$ est une partie convexe de $E\times F$.
- Montrer que $\{(0,0)\} \cup (\mathbb{R}_+^*)^2$ est une partie convexe de $\mathbb{R}^2$.
Exercice #343
Énoncé
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(x) = e^{-nx}\sin(nx).
\]
- Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
- Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice #344
Énoncé
Étudier les convergence simple et uniforme sur $[0,1]$ de la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [0,1]$ : \[
f_n(t) = \begin{cases}
t^n\ln(t)&\text{ si }x> 0 \\
0&\text{ si }x=0.
\end{cases}
\]
Exercice #345
Énoncé
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(x) = \frac{1}{(1+x^2)^n}.
\]
- Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
- Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.
Exercice #604
Détails de l'exercice #604
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : M. Arnt
Énoncé
Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée bornée sur $\mathbb{R}$.
On pose, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle f_n:x \mapsto f\left(x+\frac{1}{n}\right)$.
Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$.
On pose, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle f_n:x \mapsto f\left(x+\frac{1}{n}\right)$.
Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$.
Indications
Utiliser l'inégalité des accroissements finis.
Correction
- CVS sur $\mathbb{R}_+$.
Soit $x \in \mathbb{R}$. Étudions la nature de $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$.
Comme $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ et ainsi, d'après la caractérisation séquentielle de la continuité on a : \[ f\left(x+\frac{1}{n}\right)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f(x). \] Par suite, $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge.
Ceci étant vrai pour tout $x \in \mathbb{R}$, la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ et ce, vers la fonction $f$. - CVU sur $\mathbb{R}$.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a : \[ |f_n(x)-f(x)| = \left|f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right| \] Comme $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $f'$ est bornée sur $\mathbb{R}$, d'après l'inégalité des accroissements finis, on a : \[ \left|f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right| \leqslant \|f'\|_{\infty}.\left(\left(x+\frac{1}{n}\right)-x\right)=\frac{\|f'\|_{\infty}}{n}. \] D'où $f_n-f$ est bornée sur $\mathbb{R}$ et : \[ \|f_n-f\|_{\infty}\leqslant \frac{\|f'\|_{\infty}}{n}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0. \] Par suite, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #346
Énoncé
Étudier les convergences simple, uniforme et normale sur $\mathbb{R}_+$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(t) = \frac{(-1)^n}{n+t}.
\]
Exercice #348
Énoncé
On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(x) = \frac{1}{n+n^2x}.
\]
- Montrer que $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+^*$. Est-ce toujours vrai sur $\mathbb{R}_+$ ?
- Étudier la convergence normale et uniforme de $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.
Exercice #347
Énoncé
Soit $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite décroissante à valeurs dans $\mathbb{R}_+$. On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $t \in [0,1]$ : \[
f_n(t) = \alpha_nt^n(1-t).
\]
- Montrer que $\sum f_n$ converge simplement sur $[0,1]$.
- Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $\sum f_n$ converge normalement sur $[0,1]$.
- Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0,1]$ si, et seulement si, $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$.
Exercice #349
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : t \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\ln(nt)}$.
- Montrer que $f$ est définie et continue sur $]1,+\infty[$.
- Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $1$.
- Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]1,+\infty[$.
- Dresser le tableau de variations de $f$.
Exercice #351
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(x+n).n!}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
- Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0,+\infty[$ en précisant les limites de $f$ aux bornes de cet intervalle.
- Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : \[ xf(x)-f(x+1)=\frac{1}{e}, \]
- En déduire des équivalents simples de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.
Exercice #350
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n\sin(nx)}{n}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^1$ sur $]-1,1[$.
- Montrer que, pour tout $x \in ]-1,1[$ : \[ f(x)=\text{arctan}\left(\frac{x\sin(x)}{1-x\cos(x)}\right). \]
Exercice #353
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
- Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0,+\infty[$ en précisant la limite de $f$ en $+\infty$.
- Grâce à une comparaison série/intégrale, déterminer un équivalent de $f$ en $0^+$.
Exercice #354
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{x(x+1)...(x+n)}$.
- Montrer que $f$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$ puis déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
- Pour $x \in ]0,+\infty[$, déterminer une relation entre $f(x+1)$ et $f(x)$ puis en déduire des équivalents simples de $f$ en $+\infty$ et $0^+$.
Exercice #545 Oral concours CCinP
Détails de l'exercice #545
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : BEOS #7541 Oral CCinP 2023
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $\displaystyle f_n(x) = \frac{2x}{x^2 + n^2}$.
- Justifier la convergence simple sur $\mathbb{R}$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}f_n$.
On note $S$ la somme de cette série de fonctions sur $\mathbb{R}$ :\[ S:x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x). \] - Justifier la continuité de $S$ sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} S(x) = \pi$.
Indications
- Déterminer un équivalent simple de $|f_n(x)|$ pour $x \neq 0$.
- Étudier la convergence normale sur $[-a,a]$ pour tout $a> 0$.
- Procéder par comparaison série/intégrale.
Correction
- CVS sur $\mathbb{R}$ :
Soit $x \in \mathbb{R}$. Étudions la nature de $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$.
Si $x = 0$, $f_n(0)=0$ est le terme général d'une série convergente.
Si $x \neq 0$,\[ |f_n(x)| \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{2|x|}{n^2} \]Or, $\frac{1}{n^2}$ est le terme général d'une série convergente, donc, $\frac{2|x|}{n^2}$ l'est aussi et ainsi, par comparaison, la série numérique $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ converge absolument et donc converge.
Par suite, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$.
(Et ainsi, $S$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.) - Vérifions les hypothèses du théorème de continuité des sommes de séries de fonctions.
- Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme quotient de fonctions continue sur $\mathbb{R}$ (car polynomiale) dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
- Montrons la convergence uniforme (au moins) sur tout segment de $\mathbb{R}$. Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$.
CVN sur $[-a,a]$ :
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour tout $x \in [-a,a]$, on a, comme $0\leqslant |x| \leqslant a$ : \[ |f_n(x)|=\frac{2|x|}{x^2+n^2}\leqslant \frac{2a}{n^2} \] Donc $f_n$ est bornée sur $[-a,a]$ et sur $[-a,a]$, $\|f_n\|_{\infty}\leqslant \frac{2a}{n^2}$ qui est le terme général d'une série convergente (comme dans la question 1).
Ainsi, par comparaison, $\sum_{n \geqslant 1} \|f_n\|_{\infty}$ converge i.e. $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge normalement sur $[-a,a]$, et ce, pour tout réel $a > 0$.
Comme tout segment de $\mathbb{R}$ est inclus dans un intervalle de la forme $[-a,a]$ avec $a> 0$, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge normalement sur tout segment de $\mathbb{R}$ et donc, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge uniformément sur tout segment de $\mathbb{R}$ car "CVN implique CVU". Ainsi, les hypothèses étant vérifiées, d'après le théorème de continuité des sommes de séries de fonctions, la fonction $S$ est continue sur $\mathbb{R}$. - D'après la remarque précédente, on ne peut pas appliquer le théorème d'interversion limite/somme (théorème de double limite pour les séries de fonctions).
Il faut trouver une autre façon de faire : par exemple, une comparaison série/intégrale (le terme général fait penser à quelque chose ressemblant à la dérivée de arctangente).
Fixons un réel $x > 0$. On pose $g:t\mapsto \frac{2x}{x^2+t^2}$. Alors $g$ est positive, continue et décroissante sur $\mathbb{R}_+$ donc, par comparaison série/intégrale : - $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ et $\int_0^{+\infty}g(t) \text{d}t$ sont de même nature et donc convergentes car $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ converge (question 1).
- Et de plus, on a : \[ \int_1^{+\infty}g(t) \text{d}t\leqslant S(x)=\sum_{n =1}^{+\infty} f_n(x) \leqslant \int_0^{+\infty}g(t) \text{d}t \] Or, on remarque que, pour $t \in \mathbb{R}_+$,\[ g(t)=\frac{2x}{x^2+t^2}=2\frac{\frac{1}{x}}{1+\left(\frac{t}{x}\right)^2} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right), \]donc :\[ \pi-2\textrm{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)=\left[2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right)\right]_1^{+\infty}\leqslant S(x) \leqslant \left[2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right)\right]_0^{+\infty} = \pi \]Et, ainsi, comme $\textrm{arctan}\left(\frac{1}{x}\right) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}0$, d'après le théorème des gendarmes, on obtient :\[ \lim_{x \rightarrow +\infty}S(x)=\pi. \]Remarque : Avec ce qu'on vient de calculer, on obtient une nouvelle façon de prouver qu'il n'y a pas CVU sur $\mathbb{R}$; en effet, par l'absurde, si $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ CVU sur $\mathbb{R}$, comme, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}0$, d'après le théorème d'interversion limite/somme, on a $\pi=\lim_{x \rightarrow +\infty}S(x)=0$. Contradiction !
Remarque : on aurait pu tenter la CVN sur $\mathbb{R}$ mais ça n'aurait pas fonctionné; en effet, on peut montrer que sur $\mathbb{R}$, $\|f_n\|_{\infty}=\frac{2}{n}$ (atteint en $x=n$) qui est le terme général d'une série divergente.
Et il n'y a pas CVU sur $\mathbb{R}$ non plus : en posant $x_n=n$, on vérifie que $\|R_n\|_{\infty}\geqslant R_n(x_n) \geqslant \frac{2}{5}$ (en restreignant la somme de $n+1$ à $2n$).
Exercice #601
Énoncé
Montrer que la fonction $\displaystyle S:x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{1+x^{n}}$ est de classe $C^1$ sur son domaine de définition.
Indications
Étudier la convergence simple de la série de fonctions associée pour déterminer le domaine de définition, puis obtenir la convergence uniforme sur tout segment de ce domaine via la convergence normale sur des intervalles appropriés.
Correction
Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $f_n:x \mapsto \frac{x^n}{1+x^n}$. Pour $n$ entier impair, $f_n$ n'est pas définie en $-1$ donc le domaine de $S$ est inclus dans $\mathbb{R}\smallsetminus\{-1\}$.
CVS sur $\mathbb{R} \smallsetminus\{-1\}$ : Soit $x \in \mathbb{R} \smallsetminus\{-1\}$. Étudions la nature de $\sum f_n(x)$.
Il en résulte que $\sum f_n(x)$ converge simplement sur $]-1,1[$ au plus donc le domaine de $S$ est $]-1,1[$.
Montrons que $S$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$.
Il en résulte que, d'après le théorème d'interversion dérivation/somme :
CVS sur $\mathbb{R} \smallsetminus\{-1\}$ : Soit $x \in \mathbb{R} \smallsetminus\{-1\}$. Étudions la nature de $\sum f_n(x)$.
- Si $|x|< 1$, on a :\[
|f_n(x)|=\frac{|x|^n}{1+x^n}\underset{\rightarrow+\infty}{\sim}|x|^n
\]Or $|x|^n$ est le terme général d'une série convergente donc, par comparaison, $\sum f_n(x)$ converge absolument et donc converge.
- Si $|x|> 1$, comme $|x|^n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} +\infty$, on a \[
f_n(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x^n}} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 1 \neq 0
\] donc $\sum f_n(x)$ diverge grossièrement.
- Si $x = 1$, $f_n(x)=1$ donc $\sum f_n(x)$ diverge grossièrement.
Il en résulte que $\sum f_n(x)$ converge simplement sur $]-1,1[$ au plus donc le domaine de $S$ est $]-1,1[$.
Montrons que $S$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$.
- Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$ comme quotient de fonctions polynomiales dont le dénominateur ne s'annule pas. De plus, pour tout $x \in ]-1,1[$, on a : \[ f'_n(x)=\frac{nx^{n-1}}{(1+x^n)^2}. \]
- On a $\sum f_n(x)$ converge simplement sur $]-1,1[$ d'après ce qui précède.
- Étudions la convergence uniforme de $\sum f'_n$ (au moins) sur tout segment de $]-1,1[$.
Soit $a \in ]0,1[$.
CVN sur $[-a,a]$ de $\sum f'_n$ : Soit $n \in \mathbb{N}$. Pour tout $x \in [-a,a]$, on a : \[ |f'_n(x)|=\frac{n|x|^{n-1}}{(1+x^n)^2} \leqslant \frac{na^{n-1}}{(1-a^n)^2} \] Par suite, $f'_n$ est bornée sur $[-a,a]$ et on a, sur $[-a,a]$ : \[ \|f'_n\|_{\infty}\leqslant \frac{na^{n-1}}{(1-a^n)^2}\underset{\rightarrow+\infty}{\sim}na^{n-1} \] Or, comme $a \in ]0,1[$, $\sum na^{n-1}$ converge (en utilisant la règle de D'Alembert ou par comparaison à une série de Riemann convergente par exemple), donc, par comparaison, $\sum \|f'_n\|_{\infty}$ converge i.e. $\sum f'_n$ converge normalement sur $[-a,a]$.
Ainsi, pour tout $a \in ]0,1[$, $\sum f'_n$ converge normalement et donc uniformément sur $[-a,a]$. Or, tout segment de $]-1,1[$ est inclus dans un intervalle de la forme $[-a,a]$, donc $\sum f'_n$ converge uniformément sur tout segment de $]-1,1[$.
Il en résulte que, d'après le théorème d'interversion dérivation/somme :
- la série $\sum f_n$ converge uniformément sur tout segment de $]-1,1[$;
- la fonction $S$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$ et on a, pour tout $x \in ]-1,1[$ : \[ S'(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{1+x^n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\frac{x^n}{1+x^n} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{nx^{n-1}}{(1+x^n)^2}. \]
Exercice #352
Énoncé
Montrer que la fonction $\displaystyle \eta: s \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
Exercice #364
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum_{n \geqslant 2} \frac{\sqrt{n}}{\ln(n)}z^{2n}.
\]
Exercice #366
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum e^{-\sqrt{n}}z^{n}.
\]
Exercice #367
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum \frac{8^n(n+\sqrt{n})}{n^2+4}z^{3n}.
\]
Exercice #368
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum \frac{\cos(n)}{n}z^{n}.
\]
Exercice #365
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum \ln(n!)^2z^{n}.
\]
Exercice #369
Énoncé
Soit $\displaystyle \sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence noté $R$. Déterminer la rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum a_n^2 z^n$.
Exercice #374
Énoncé
On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{\sqrt{n}}z^n$ de somme notée $S$.
- Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
- Étudier les continuité/limites de $S$ aux bornes de l'intervalle $]-R,R[$.
Exercice #370
Énoncé
Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tel que : \[
\begin{cases}
a_0=1 \text{ et }a_1=0 \\
a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n\text{ pour }n \in \mathbb{N}
\end{cases}
\] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Exercice #372
Énoncé
On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)}{n}z^n$ de somme notée $S$.
- Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
- Exprimes $S$ à l'aide de fonctions usuelles sur $]-R,R[$.
Exercice #371
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
a_n=\text{Card}\left\lbrace (p,q) \in \mathbb{N}^2 \; | \; p+3q = n \right\rbrace.
\] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Exercice #373
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$. On considère la série entière $\sum \text{Tr}(A^n)z^n$.
Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.
Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.
Exercice #376
Énoncé
Montrer que la fonction $\displaystyle f: x \mapsto
\begin{cases}
\frac{1-\cos(2x)}{x^2}&\text{ si }x \in \mathbb{R}^* \\
2&\text{ si }x=0
\end{cases}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #378
Énoncé
Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[
f:x \mapsto \ln(x^2-6x+8)
\]
Exercice #379
Énoncé
Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[
f:x \mapsto \int_0^x \text{sh}(t^3)\text{d}t.
\]
Exercice #380
Énoncé
On considère la fonction $f:x \mapsto \text{arcsin}(x)^2$.
- Déterminer une relation reliant $f''$ et $f'$ sur $]-1,1[$.
- En déduire le développement en série entière de $f$.
Exercice #400
Énoncé
On pose, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[
I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^n(t)\text{d}t.
\]
- Calculer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
- Pour $n \in \mathbb{N}$, établir une relation entre $I_n$ et $I_{n+2}$ puis en déduire une expression de $I_{2n}$ et de $I_{2n+1}$ sous forme de somme.
- Application : justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes \[
\sum \frac{(-1)^n}{2n+1} \text{ et }\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}.
\]
Exercice #401
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
I_n = \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^2(1+t^n)}\text{d}t.
\]
- Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #402
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}_+$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
I_n = \int_0^{+\infty}\frac{nf(t)}{1+n^2t^2}\text{d}t.
\]
- Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #407
Énoncé
Montrer l'égalité :\[
\int_0^1 \frac{\ln(t)^2}{1+t^2}\text{d}t = 2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}.
\]
Exercice #408
Énoncé
Montrer l'égalité :\[
\int_0^1 \frac{1}{t^t}\text{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}.
\]
Exercice #421
Énoncé
Montrer que la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{(n+m^2)(n+m^2+1)}\right)_{(n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*}$ est sommable et déterminer sa somme.
Exercice #422
Énoncé
Montrer que la famille $\displaystyle \left(\frac{n+m}{3^{n+m}}\right)_{(n,m) \in \mathbb{N}^2}$ est sommable et déterminer sa somme.
Exercice #420
Énoncé
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On considère la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{(n^2+m^2)^{\alpha}}\right)_{(n,m)\in (\mathbb{N}^*)^2}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la valeur de $\alpha$ pour que cette famille soit sommable.
Exercice #328
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix}
-3&1&3 \\
1&-3&3 \\
-5&5&1
\end{pmatrix}$.
Exercice #329
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix}
4&-1&-3 \\
1&2&-3 \\
-1&1&6
\end{pmatrix}$.
Exercice #590
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $p$ un projecteur de $E$. Calculer $\text{exp}(p)$.
Exercice #593
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_p(\mathbb{R})$ telle que $A^2=-A$. Calculer $\text{exp}(A)$.
Exercice #330
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix}
0&-1&1 \\
6&-5&2 \\
-3&1&-4
\end{pmatrix}$.
Exercice #591
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $s$ une symétrie de $E$. Calculer $\text{exp}(s)$.
Exercice #594
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_p(\mathbb{R})$ telle que $A^2=A+I_p$. On note $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Montrer que : \[
\text{exp}(A)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\varphi e^{-\frac{1}{\varphi}}+\frac{1}{\varphi} e^{\varphi}\right)I_p+\left(e^{\varphi}-e^{-\frac{1}{\varphi}}\right)A\right).
\]
Exercice #599
Énoncé
Montrer la convergence de la série associé à la somme : \[
\sum_{n=0}^{+\infty}n4^{-n}
\] puis la calculer à l'aide d'un produit de Cauchy.
Exercice #334
Énoncé
On considère la série : \[
\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
\]
- Montrer que cette série est divergente et déterminer un équivalent simple (noté $v_n$ dans la suite) de sa somme partielle $S_n$.
- Montrer qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que : \[ S_n-v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\alpha. \] On rappelle que $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} -\ln(n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \gamma $ où $\gamma$ est la constante d'Euler.
Exercice #595
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum \frac{1}{\ln(1+4^{-n})}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #598
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \frac{\ln(n)}{n!}$ converge puis déterminer un équivalent simple de son reste $R_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #596
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[
\begin{cases}
u_0=1 &\\
u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}&\textrm{ pour }n\in\mathbb{N}
\end{cases}
\]
- Montrer que la suite est bien définie puis après avoir justifié son existence, déterminer sa limite.
- Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
Exercice #597
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{4^n}{n}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #562
Énoncé
Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}.
\]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.
Exercice #332
Énoncé
Déterminer la nature de la série : \[
\sum_{n \geqslant 1}\frac{1}{n^{(1+\frac{1}{n})}}
\]
Exercice #555
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}-\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}.
\]
Exercice #561
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}.
\]
Exercice #560
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{n^2-2}{n!}.
\]
Exercice #561
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}.
\]
Exercice #559
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[
u_n = \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)
\]puis déterminer sa somme.
Exercice #558
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}.
\]
Exercice #559
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[
u_n = \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)
\]puis déterminer sa somme.
Exercice #331
Énoncé
Déterminer la nature de la série : \[
\sum_{n \geqslant 1}\frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n!}}
\]
Exercice #562
Énoncé
Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}.
\]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.
Exercice #563
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à valeurs réelles telle que $u_0> 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=1-e^{-u_n}$.
- Étudier la nature de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et déterminer sa limite si elle existe.
- Étudier la nature de la série $\sum (-1)^nu_n$.
- Étudier la nature de la série $\sum u_n^2$.
- Étudier la nature de la série $\sum u_n$.
Exercice #415
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}.
\]
Exercice #416
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[
u_n=\frac{\ln(1+n^3)}{2n+\sqrt{n}+1}.
\]
Exercice #418
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=n^2\left(1+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n.
\]
Exercice #414
Énoncé
On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[
u_n = \sum_{k=0}^n k!.
\]Montrer que $u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}n!$.
Exercice #292
Énoncé
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$ telle que :\[
\frac{u_{n+1}}{u_n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0
\]Montrer que $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge et déterminer sa limite.
Exercice #290
Énoncé
Soit $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
\]
- Montrer que, pour tout entier $n$ non nul, $H_{2n}-H_n \geqslant \frac{1}{2}$. En déduire que $H_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
- Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite à valeurs réelles. Montrer que si $n(u_{n+1}-u_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$, alors $u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
Exercice #274
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[
u_n=\frac{n!}{n^n}
\]
Exercice #276
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \text{ où }x \in \mathbb{R}
\]
Exercice #277
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=\sqrt[n]{n}
\]
Exercice #278
Énoncé
Montrer que la suite $(\cos(n))_{n \in \mathbb{N}}$ diverge.
Exercice #306
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1& \\
u_{n+1}= \sqrt{u_n+1}&\text{ pour }n \in \mathbb{N}
\end{cases}
\]
- Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie.
- Déterminer la nature de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #596
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[
\begin{cases}
u_0=1 &\\
u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}&\textrm{ pour }n\in\mathbb{N}
\end{cases}
\]
- Montrer que la suite est bien définie puis après avoir justifié son existence, déterminer sa limite.
- Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
Exercice #287
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1,\; u_1=2& \\
u_{n+2}=u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Exercice #288
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1,\; u_1=-1& \\
2u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Exercice #284
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=0 \\
u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Exercice #280
Énoncé
Soit $\theta \in ]0,\pi/2[$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
s_n=2^n\sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right) \text{ et }t_n=2^n\tan\left(\frac{\theta}{2^n}\right)
\]Montrer que les suites $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont adjacentes. En déduire qu'elles convergent et déterminer leurs limites.
Exercice #281
Énoncé
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites définies, pour $n \in \mathbb{N}$,par :\[
u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\text{ et }v_n=u_n+\frac{1}{n.n!}
\]
- Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont des suites adjacentes.
On admettra dans la suite que leur limite commune est le nombre $e$. - Montrer par l'absurde que $e$ est irrationnel.
Exercice #5
Énoncé
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a $\sin(x)\leqslant x$.
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos(x)\geqslant 1-\frac{x^2}{2}$.
Exercice #7
Énoncé
- Soit $p,q$ des réels. Écrire, lorsque l'expression est définie, $\dfrac{\cos(q)-\cos(p)}{\sin(p)+\sin(q)}$ sous la forme $\tan(?)$ avec $?$ à déterminer.
- En déduire $\tan(\frac{\pi}{24})$.
Exercice #10
Énoncé
Résoudre les équations suivantes d'inconnues $x \in \mathbb{R}$ :
- $3\cos(x)-\sqrt{3}\sin(x)=\sqrt{6}$.
- $\cos^4(x)+\sin^4(x)=1$.
Exercice #9
Énoncé
On considère la fonction $f:x \mapsto \cos^3(x)+\sin^3(x)$
- Étudier $f$ sur $\mathbb{R}$
- Résoudre l'équation $f(x)=1$.
Exercice #213
Énoncé
Déterminer pour quelles valeurs de l'inconnue $x \in \mathbb{R}$ l'équation suivante est valable puis la résoudre :\[
\text{arccos}(x)=\text{arcsin}(2x).
\]
Exercice #217
Énoncé
Simplifier, pour $x \in ]-1,1[$ :\[
\cos(2\text{arcsin}(x))
\]
Exercice #221
Énoncé
- Montrer que la fonction de la variable réelle $\displaystyle x \mapsto \text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right)$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ |\text{arctan}(\text{sh}(x))|=\text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right). \]
Exercice #214
Énoncé
Soit $x \in \mathbb{R}$. Simplifier :\[
\cos(2\text{arctan}(x))
\]
Exercice #221
Énoncé
- Montrer que la fonction de la variable réelle $\displaystyle x \mapsto \text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right)$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ |\text{arctan}(\text{sh}(x))|=\text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right). \]
Exercice #220
Énoncé
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, $\text{sh}(x)\geqslant x$
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\text{ch}(x)\geqslant 1+\frac{x^2}{2}$
Exercice #185
Énoncé
Étudier la fonction suivante sur son domaine de définition :\[
f: x \mapsto \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
\]On pensera à étudier la parité de la fonction.
Exercice #196
Énoncé
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition où :\[
f:x \mapsto \sqrt{4x^2+9}.
\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes obliques en $\pm \infty$.
Exercice #197
Énoncé
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition :\[
f:x \mapsto \frac{x^2+1}{x+1}.
\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes verticales et obliques.
Exercice #198
Énoncé
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition :\[
f:x \mapsto \ln(e^{2x}-1).
\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes verticales et obliques.
Exercice #187
Énoncé
Montrer que pour tout entier $n \geqslant 2$ :\[
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leqslant e \leqslant \left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}
\]
Exercice #188
Énoncé
Montrer que pour tout $x \in ]0,1[$ :\[
x^x(1-x)^{1-x}\geqslant \frac{1}{2}
\]
Exercice #193
Énoncé
Soit $f,g$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Montrer l'implication suivante :
Si $f$ et $g$ sont bornées sur $\mathbb{R}$ alors $f+g$ est bornée sur $\mathbb{R}$.
Que dire de l'implication réciproque ?
Si $f$ et $g$ sont bornées sur $\mathbb{R}$ alors $f+g$ est bornée sur $\mathbb{R}$.
Que dire de l'implication réciproque ?
Exercice #194
Énoncé
Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $a,b \in \mathbb{N}^*$ premiers entre eux. Montrer que si $f$ est $a$-périodique sur $\mathbb{R}$ et $b$-périodique alors $f$ est $1$-périodique.
Exercice #195
Énoncé
Soit $f$ une fonction bijective de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Montrer que si $f$ est impaire, alors sa réciproque $f^{-1}$ l'est aussi.
Exercice #202
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $1$.
Exercice #203
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto e^{\frac{1}{x+1}+x^2-\cos(\sin(x))}$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $0$.
Exercice #204
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto \tan\left(\frac{x^2+\frac{\pi}{6}}{x^2+1}\right)$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $0$.
Exercice #190
Énoncé
Déterminer, pour $n \in \mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de la fonction :\[
f: x \mapsto (x^2+1)e^x.
\]après avoir justifié le caractère $C^{\infty}$ de $f$ sur son domaine de définition.
Exercice #192
Énoncé
Déterminer, pour $n \in \mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de la fonction :\[
f: x \mapsto \frac{1}{1-x^2}.
\]après avoir justifié le caractère $C^{\infty}$ de $f$ sur son domaine de définition.
Exercice #358
Énoncé
Soit $f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x)=+\infty$. Montrer qu'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f'(c)=0$.
Exercice #362
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$ et $p: \rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $p(x)=(x^2-1)^n$.
- Justifier que $p$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. Dans la suite, on pose : \[ f=p^{(n)}. \]
- Montrer que $f$ est une fonction polynomiale de degré $n$ puis calculer les valeurs $f(\pm 1)$.
- Montrer que $f$ possède exactement $n$ racines distinctes qui sont toutes dans $]-1,1[$.
Exercice #360
Énoncé
Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Montrer :
$f$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ si, et seulement si, $f'$ est bornée sur $\mathbb{R}$.
Exercice #361
Énoncé
Montrer que $\cos$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.
Exercice #189
Énoncé
Montrer que la fonction $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ :\[
f(x)=\begin{cases}
x^2\ln(x)&\text{ si }x> 0 \\
0 & \text{ si }x=0
\end{cases}
\]est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}_+$.
La fonction $f$ est-elle $2$-fois dérivable en $0$ ?
La fonction $f$ est-elle $2$-fois dérivable en $0$ ?
Exercice #11
Énoncé
Montrer que pour tout $x \in [0,\frac{\pi}{2}]$ ;\[
\frac{2}{\pi}x\leqslant \sin(x) \leqslant x
\]
Exercice #13
Énoncé
Soit $p,q \in ]1,+\infty[$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Montrer que, pour tous $x,y \in \mathbb{R}_+$ :\[
xy\leqslant \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}.
\]
Exercice #14
Énoncé
Montrer que pour tous $x,y,a,b \in \mathbb{R}_+^*$, on a l'inégalité suivante :\[
(x+y)\ln\left(\frac{x+y}{a+b}\right)\leqslant x\ln\left(\frac{x}{a}\right)+y\ln\left(\frac{y}{b}\right)
\]
Exercice #12
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tous $x_1,...,x_n \in \mathbb{R}$ :\[
\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\leqslant n \sum_{k=1}^n x_k^2.
\]
Exercice #410
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$ où :\[
f: x \mapsto \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}.
\]
Exercice #411
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$ où :\[
f:x \mapsto \frac{\ln(x+1)}{\ln(x)}-1.
\]
Exercice #412
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $0$ où :\[
f:x \mapsto \sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}.
\]
Exercice #413
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction décroissante telle que :\[
f(x)+f(x+1)\underset{x \rightarrow +\infty}{\sim}\frac{1}{x}.
\]Étudier la limite en $+\infty$ de $f$ puis déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$.
Exercice #430
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= \frac{\ln(1+x)}{(1+x^2)}\text{ avec }n=3.
\]
Exercice #431
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= (1+x)^{\frac{1}{x}}\text{ avec }n=3.
\]
Exercice #432
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= e^{3x}\sin(2x)\text{ avec }n=4.
\]
Exercice #439
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= \ln(1+\sin(x))\text{ avec }n=3.
\]
Exercice #433
Énoncé
- Montrer que $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans lui-même définie par :\[ f(x)=\begin{cases} 0&\text{ si }x=0 \\ x^4\sin\left(\frac {1}{x}\right)&\text{ si }x\neq 0 \end{cases} \]est dérivable deux fois en $0$ mais pas de classe $C^2$ en $0$.
- Une fonction qui admet un développement limité à un ordre $n$ en $0$ est-elle de classe $C^n$ en $0$ ?
Exercice #434
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $f_a:x \mapsto \text{arctan}\left(\frac{x+a}{1-ax}\right)$.
- Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur son domaine de définition et déterminer $f_a'$.
- Pour $n \in \mathbb{N}$, déterminer un développement limité de $f_a'$ à l'ordre $2n-1$ en $0$ puis de $f_a$ à l'ordre $2n$ en $0$.
- Pour $k \in \mathbb{N}$, déterminer $f_a^{(k)}(0)$.
Exercice #437
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $x \in \mathbb{R}$, par $f(x)=xe^{x^2}$. Montrer que $f$ est bijective, que $f^{-1}$ admet un développement limité à l'ordre $n \in \mathbb{N}$ en $0$ puis en déterminer un pour $n=5$.
Exercice #435
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction :\[
f:x \mapsto \begin{cases}
0&\text{ si }x=0 \\
e^{-\frac{1}{x^2}}&\text{ si }x \neq 0
\end{cases}
\]
- Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ puis déterminer la limite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n}$ pour $n \in \mathbb{N}$.
- En déduire un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n \in \mathbb{N}$. Justifier qu'une fonction qui admet un développement limité nul (i.e. la partie polynomiale du DL est nulle) en $0$ à tout ordre n'est pas nécessairement la fonction nulle.
- Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un polynôme $P_n$ tel quepour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)f(x)$.
En déduire que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #436
Énoncé
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, $\text{arctan}(x)=\frac{\pi}{2}-\text{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)$.
- En déduire un développement asymptotique de $f=\text{arctan}$ en $+\infty$ avec une précision en $\frac{1}{x^3}$.
Exercice #438
Énoncé
Déterminer un développement limité en $1$ à l'ordre $4$ de $f$ où :\[
f:x\mapsto \sin(x^2(x - 1)).
\]
Exercice #521
Énoncé
Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$. Après avoir justifié que c'est possible, appliquer la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $3$ à la fonction $f:t \mapsto \ln(1+t)$ sur l'intervalle $[0,x]$.
Exercice #520
Énoncé
Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f(x)\xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{}0$ et $f''(x)\xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{}0$. Montrer que $f'(x)\xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{}0$.
Exercice #523
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$. Déteminer :\[
\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h^2}
\]
Exercice #335
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue qui admet une limite finie en $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice #338
Énoncé
Soit $T> 0$ et $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction $T$-périodique telle que $f$ admet une limite finie en $+\infty$.
Montrer que $f$ est une fonction constante.
Montrer que $f$ est une fonction constante.
Exercice #339
Énoncé
Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}
\]
Exercice #341
Énoncé
Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[
\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x+\text{arctan}(x)}{x}
\]
Exercice #342
Énoncé
Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[
\lim_{x \rightarrow 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)
\]
Exercice #355
Énoncé
Montrer que la fonction $t \mapsto \cos(\sin(t) )$ n'admet pas de limite en $+\infty$.
Exercice #356
Énoncé
Déterminer toutes les fonctions $f$ de $]0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ telles que, pour tous $a,b \in ]0,+\infty[$ :\[
|f(a)-f(b)|\leqslant \frac{a}{b}.
\]
Exercice #357
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction périodique et non constante. Montrer que $f$ n'admet pas de limite en $+\infty$.
Exercice #455
Énoncé
Étudier la continuité sur $\mathbb{R}^2$ de la fonction suivante :\[
f:(x,y) \mapsto \begin{cases}
\displaystyle\frac{3x^2y}{x^2+y^2}&\text{ si }(x,y) \in \mathbb{R}^2 \smallsetminus\{(0,0)\} \\
0&\text{ si }(x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]
Exercice #456
Énoncé
Étudier la continuité sur $\mathbb{R}^2$ de la fonction suivante :\[
f:(x,y) \mapsto \begin{cases}
\displaystyle\frac{x^2}{x^2+y^2}&\text{ si }(x,y) \in \mathbb{R}^2 \smallsetminus\{(0,0)\} \\
0&\text{ si }(x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]
Exercice #457
Énoncé
Étudier la continuité sur $\mathbb{R}^2$ de la fonction suivante :\[
f:(x,y) \mapsto \begin{cases}
\displaystyle\frac{-x^3+6xy^2}{2x^2+y^2}&\text{ si }(x,y) \in \mathbb{R}^2 \smallsetminus\{(0,0)\} \\
0&\text{ si }(x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]
Exercice #491
Énoncé
Soit $E$ un espace euclidien muni d'un produit scalaire $(\cdot|\cdot)$ et $f : E \rightarrow E$ une application différentiable sur $E$. On pose, pour $x \in E$ : \[
\varphi(x)=(f(x)|f(x)).
\] Montrer que $\varphi$ est différentiable sur $E$ et déterminer sa différentielle en tout point de $E$.
Exercice #546 Oral CCinP 2023
Détails de l'exercice #546
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : BEOS #7515 Oral CCinP 2023
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On pose $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $, muni d'une norme sous-multiplicative $\|\cdot\| $, i.e. $\forall (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$, $\| AB\| \leqslant \| A \|. \| B \|$.
- Soit $H \in E$ tel que $\| H \| < 1 $. Montrer que $I_n - H$ est inversible, d'inverse $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} H^k$.
- Montrer que $GL_n(\mathbb{R})$ est ouvert dans $E$.
- Soit $\begin{array}{ccccc} f & : & \ GL_n(\mathbb{R})& \rightarrow & \ GL_n(\mathbb{R}) \\ & & M & \mapsto & M^{-1} \end{array}$.
- Montrer que $f$ est différentiable en $I_n$ et que $df(I_n) = -\text{Id}_E$.
- Montrer que $f$ est différentiable en tout point de $E$.
Indications
- Calculer $(I_n - H) \sum_{n=0}^{\infty} H^n$.
- Utiliser l'écriture de $GL_n(\mathbb{R})$ avec le déterminant.
-
- Utiliser la question 1.
- Remarquer que $(M+ H)^{-1} = (M(I_n + M^{-1}H))^{-1})$.
Exercice #488
Énoncé
Déterminer les extrema sur $\mathbb{R}^2$, s'il en existe, de la fonction \[
f:(x,y) \mapsto 2(y-x)^2-(x^4+y^4).
\]
Exercice #486
Énoncé
On considère la fonction $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, par : \[
f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}&\text{ si }(x,y)\neq (0,0) \\
0&\text{ si }(x,y)=(0,0)
\end{cases}
\]
- Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ et que $f$ admet des dérivées partielles dans la base canonique en tout point de $\mathbb{R}^2$.
- Montrer que $f$ est différentiable sur $\mathbb{R}^2 \smallsetminus \{(0,0)\}$ et exprimer sa différentielle en tout point de $\mathbb{R}^2 \smallsetminus \{(0,0)\}$.
- La fonction $f$ est-elle de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$ ?
Exercice #490
Énoncé
Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$. On pose, pour $(x,y,z) \in \mathbb{R}^2$ : \[
\varphi(x,y,z)=f(x-y,y-z,z-x).
\] Montrer que $\varphi$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^3$ et que, pour tout $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$, $\nabla \varphi(x,y,z)$ est orthogonal au vecteur $(1,1,1)$.
Exercice #485
Énoncé
Déterminer, si elle existe, une fonction $f:U \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^2$ sur un ouvert $U\subset \mathbb{R}^2$ tel que $\nabla f = V_i$ où, pour $(x,y) \in U$ : \[
V_1(x,y)=\left(\frac{x}{y},\frac{y}{x}\right) \quad \text{ et }\quad V_2(x,y)=\left(\frac{y^2}{(x+y)^2},\frac{x^2}{(x+y)^2}\right).
\]
Exercice #487
Énoncé
Justifier que la surface $\mathcal{S}$ d'équation $z^2=6+2x^2+3y^2$ admet un plan tangent en chacun de ses points, puis déterminer l'équation du plan tangent au point de coordonnées $(3,2,6)$.
Exercice #40
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t^{\frac{3}{2}}}\text{d}t
\]
Exercice #44
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_a^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2}\text{d}t
\]pour $a=1$ puis pour $a=0$.
Exercice #45
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_0^{1} \cos(\ln(t))\text{d}t
\]
Exercice #46
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_0^{+\infty} \sin(x)\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\text{d}x
\]
Exercice #47
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_0^{+\infty} \left(t+1-\sqrt{t^2+2t+1,1}\right)\text{d}t
\]
Exercice #48
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{t})}{\sqrt{t-1}}\text{d}t
\]
Exercice #50
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante en fonction de $\alpha \in \mathbb{R}$ :\[
\int_0^{+\infty} \frac{\ln(1+t)}{t^{\alpha}}\text{d}t
\]
Exercice #51
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante en fonction de $\alpha \in \mathbb{R}$ :\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan^{\alpha}(\theta)\text{d}\theta
\]
Exercice #52
Énoncé
Montrer la convergence puis calculer l'intégrale suivante :\[
\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^3}\text{d}t
\]
Exercice #88
Énoncé
Justifier la convergence de l'intégrale :\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan(t)} \text{d}t
\]puis la calculer.
Exercice #87
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$. Justifier la convergence de l'intégrale :\[
I_n= \int_0^1 (t\ln(t))^n \text{d}t
\]puis la calculer.
Exercice #90
Énoncé
Soit $f: [1,+\infty[ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer l'implication :\[
\int_1^{+\infty} f(t) \text{d}t \text{ converge } \;\Rightarrow \; \int_1^{+\infty} \frac{f(t)}{t} \text{d}t \text{ converge.}
\]
Exercice #547 Oral CCinP 2023
Détails de l'exercice #547
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : BEOS #7216 Oral CCinP 2023
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note\[
I_n=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+ t^4)^n}\,\text{d}t
\]
- Montrer que $I_n$ est bien défini pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, puis que la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge vers une limite à déterminer.
- Pour $n \in \mathbb{N}^*$, trouver une relation entre $I_n$ et $I_{n+1}$. En déduire une seconde façon de déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.
Indications
- Appliquer le théorème de convergence dominée.
- Écrire $1=1+t^4-t^4$ puis effectuer une IPP. Une fois la relation établie, faire un produit télescopique pour trouver une expression de $I_n$ puis passer au logarithme.
Correction
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $f_n: t \mapsto \frac{1}{(1+ t^4)^n}$.
- Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrons que l'intégrale généralisée $I_n$ est convergente.
La fonction $f$ est continue sur $[0,+\infty[$ comme quotient de fonctions continues sur $[0,+\infty[$ dont le dénominateur ne s'annule pas et est positive sur cet intervalle.
En $+\infty$, on a : \[ f_n(t)=\frac{1}{(1+ t^4)^n} \underset{t \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{1}{t^{4n}}. \] Or, $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^{4n}}\text{d}t$ converge d'après le critère de Riemann en $+\infty$ car $4n \geqslant 4 > 1$, donc, par comparaison, $\int_1^{+\infty} f_n(t)\text{d}t$ converge.
De plus, $f$ étant continue sur le segment $[0,1]$, $\int_0^{1} f_n(t)\text{d}t$ converge aussi.
Par suite, $\int_0^{+\infty} f_n(t)\text{d}t$ converge et donc $I_n$ est bien défini.
Utilisons le théorème de convergence dominée appliqué à la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ pour montrer que la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge et pour déterminer sa limite. Vérifions les hypothèses du théorème : - pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n$ est continue par morceaux sur $[0,+\infty[$ car continue sur $[0,+\infty[$.
- Convergence Simple vers une fonction continue par morceaux. Soit $t \in [0,+\infty[$. On a : \[ f_n(t)\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \begin{cases} 1&\text{ si }t=0 \\ 0&\text{ si }t> 0. \end{cases} \] Par suite, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $[0,+\infty[$ vers la fonction $f:t \mapsto \begin{cases} 1&\text{ si }t=0 \\ 0&\text{ si }t> 0. \end{cases}$ qui est continue par morceaux sur $[0,+\infty[$.
- Domination. Soit $t \in [0,+\infty[$. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, comme $1+t^4 \geqslant 1$, on a : \[ |f_n(t)|=\frac{1}{(1+t^4)^n}\leqslant \frac{1}{1+t^4}=g(t) \] De plus, la fonction $g:t \mapsto \frac{1}{1+t^4}$ est intégrable sur $[0,+\infty[$ d'après ce qui précède (cas $n=1$ pour la bonne définition de $I_n$). Les hypothèses sont vérifiées : ainsi, d'après le théorème de convergence dominée, on a \[ \lim_{n \rightarrow +\infty}I_n = \int_0^{+\infty}\lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(t) \text{d}t = \int_0^{+\infty}f(t) \text{d}t = 0. \]
- Soit $n \in \mathbb{N}^*$. En utilisant la décomposition $1=1+t^4-t^4$ : \[
\begin{array}{rcl}
I_{n+1}&=&\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t \\
&=&\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1+t^4-t^4}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t \\
&=&\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+t^4)^{n}} \text{d}t + \int_0^{+\infty}\frac{-t^4}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t\\
&=&\displaystyle I_n + \frac{1}{4n}\int_0^{+\infty}t\frac{-4nt^3}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t
\end{array}
\] On effectue une intégration par parties dans cette dernière intégrale avec : \[
\begin{array}{rclcrcl}
u(t)&=&t&\quad \quad&u'(t)&=&1 \\
v'(t)&=&\displaystyle \frac{-4nt^3}{(1+t^4)^{n+1}}&\quad \quad&v(t)&=&\displaystyle \frac{1}{(1+t^4)^{n}}
\end{array}
\] On a alors : \[
u(t)v(t) = \frac{t}{(1+t^4)^{n}} \begin{cases}
\xrightarrow[t\rightarrow 0]{}0 \\
\xrightarrow[t\rightarrow +\infty]{}0
\end{cases}
\] Par suite, l'IPP est licite et on a : \[
\int_0^{+\infty}t\frac{-4nt^3}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t= [u(t)v(t)]_0^{+\infty}- \int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+t^4)^{n}} \text{d}t =-I_n.
\] On obtient donc la relation : \[
I_{n+1} = I_n+\frac{1}{4n}(-I_n)=\left(1-\frac{1}{4n}\right)I_n.
\] Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, comme $f_n$ est positive continue et non nulle sur $[0,+\infty[$, on a $I_n > 0$, d'où : \[
\frac{I_{n+1}}{I_n} = 1-\frac{1}{4n}.
\] Par produit télescopique, on a alors : \[
\frac{I_n}{I_1}= \prod_{k=1}^{n-1} \frac{I_{k+1}}{I_k} =\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-\frac{1}{4k}\right).
\] Ainsi, on a : \[
\ln(I_n)=\ln(I_1)-\sum_{k=1}^{n-1}\left(-\ln\left(1-\frac{1}{4k}\right)\right).
\] Or, $-\ln\left(1-\frac{1}{4k}\right)\underset{k \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{1}{4k}$ et $\sum_{k \geqslant 1}\frac{1}{4k}$ diverge (série harmonique multipliée par une constante) d'où la série à termes positifs $\sum_{k \geqslant 1}\left(-\ln\left(1-\frac{1}{4k}\right)\right)$ diverge et donc la suite de ses sommes partielles tend vers $+\infty$ i.e. $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(-\ln\left(1-\frac{1}{4k}\right)\right) \xrightarrow[t\rightarrow +\infty]{} +\infty$.
Il en résulte que $(\ln(I_n))_{n \in \mathbb{N}^*}$ tend vers $-\infty$ et donc, par passage à la fonction exponentielle qui est continue sur $\mathbb{R}$, on obtient, comme $\lim_{x \rightarrow -\infty}e^x=0$ : \[ I_n \xrightarrow[t\rightarrow +\infty]{} 0. \]
Exercice #579
Énoncé
Déterminer un équivalent simple quand $x$ tend vers $+\infty$ de :\[
\int_x^{+\infty} \ln\left(1+\sin\left(\frac{1}{t^4}\right)\right) \text{d}t.
\]
Exercice #580
Énoncé
Déterminer un équivalent simple quand $x$ tend vers $+\infty$ de :\[
\int_1^{x} \text{sh}\left(\frac{1}{\sqrt{t}}\right) \text{d}t.
\]
Exercice #403
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^1 e^{-\frac{x}{t}}\text{d}t$.
- Montrer que $F$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
- Donner une expression explicite de $F''$.
Exercice #405
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)e^{-t}}{t}\text{d}t$.
- Déterminer le domaine de définition de $F$.
- Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur son domaine.
- Déterminer $F'$ puis en déduire une expression simple de $F$.
Exercice #404
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{1+t^2}\text{d}t$.
- Déterminer le domaine de définition de $F$.
- Montrer que $F$ admet une limite en $+\infty$ et la calculer.
- Montrer que $F$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}_+^*$ puis montrer que $F$ est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants.
Exercice #524 Oral CCinP 2023
Détails de l'exercice #524
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : BEOS #7475 Oral CCinP 2023
Énoncé
Pour $x \in \mathbb{R}_+$, on pose :\[
F(x) =\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^2(1+t^{2})}}{1+t^2}\,\text{d}t \quad\text{et}\quad G(x) = \int_{0}^{x} \mathrm e^{-t^2}\,\text{d}t.
\]
- Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$ et exprimer $F'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}_+$.
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, $G(x)^2 = \frac{\pi}{4}-F(x)$.
- En déduire la valeur de $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\,\text{d}t$.
Indications
- Utiliser le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre.
- Prouver que la fonction $G^2+F$ est dérivable de dérivée nulle sur $\mathbb{R}_+$.
- Remarquer que l'intégrale recherchée est convergente et égale à $\lim_{x \rightarrow +\infty}G(x)$, puis passer à la limite dans le résultat de la question 2. en utilisant le théorème de la limite d'une intégrale à paramètre.
Correction
- Pour $(x,t) \in \mathbb{R}_+\times [0,1]$, on pose $\displaystyle f(x,t)=\frac{e^{-x^2(1+t^{2})}}{1+t^2}$. On vérifie les hypothèses du théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre :
- Soit $t \in [0,1]$. La fonction $x \mapsto f(x,t)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$ car, pour $a,b$ des réels, $x \mapsto be^{ax^2}$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$). De plus, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a : \[ \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) = -2xe^{-x^2(1+t^{2})}. \]
- Soit $x \in \mathbb{R}_+$. La fonction $t \mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $[0,1]$ car continue sur le segment $[0,1]$.
- Soit $x \in \mathbb{R}_+$. La fonction $t \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}f(x,t)$ est continue par morceaux sur $[0,1]$ car, pour $a,b$ des réels, $t \mapsto be^{a(1+t^2)}$ est continue sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions continues sur $\mathbb{R}$).
- Soit $a > 0$. Domination sur $[0,a]$. Soit $t \in [0,1]$. Pour tout $x \in [0,a]$, on a : \[ \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right| = 2xe^{-x^2(1+t^{2})}\leqslant 2a = g(t). \] De plus, la fonction $g: t\mapsto 2a$ est intégrable sur $[0,1]$ car continue sur ce segment. Toutes les hypothèses sont vérifiées. Ainsi, d'après le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre, $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,a]$ pour tout $a> 0$ et donc sur $\mathbb{R}_+$; et on a, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ \begin{array}{rcl} F'(x)&=&\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}\int_{0}^{1}f(x,t)\,\text{d}t \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,\text{d}t \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{1}-2xe^{-x^2(1+t^{2})}\,\text{d}t \\ F'(x)&=&\displaystyle -2x\int_{0}^{1}e^{-x^2(1+t^{2})}\,\text{d}t. \end{array} \]
- L'identité que l'on doit montrer nous suggère calculer la dérivée de $G^2+F$ et de vérifier que celle-ci est constante.
La fonction $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$ comme primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x \mapsto e^{-x^2}$ continue sur $\mathbb{R}$ et $F$ l'est aussi d'après la question précédente. Par suite, $H=G^2+F$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$, de dérivée $H'=2G'G+F'$. On a : \[ H'(0)=2G'(0)G(0)+F'(0)= 2\times 1\times 0 -0 = 0. \]
Soit $x \in \mathbb{R}_*^+$. Effectuons le changement de variable licite $u=\frac{t}{x}$ dans l'intégrale $G(x)$ : \[ G(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^2}\,\text{d}t = \int_{0}^{1} e^{-(xu)^2}\,x\text{d}u=x\int_{0}^{1} e^{-x^2u^2}\,\text{d}u. \] Par suite, on a : \[ \begin{array}{rcl} H'(x)&=&\displaystyle 2G'(x)G(x)+F'(x) \\ &=&\displaystyle 2xe^{-x^2}\int_{0}^{1} e^{-x^2u^2}\,\text{d}u+F'(x) \\ &=&\displaystyle 2x\int_{0}^{1} e^{-x^2(1+u^2)}\,\text{d}u-2x\int_{0}^{1}e^{-x^2(1+t^{2})}\,\text{d}t \\ H'(x)&=&0. \end{array} \] Ainsi, $H'$ est nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}_+$, donc $H$ est constante sur $\mathbb{R}_+$. Or, on a : \[ H(0)=(G(0))^2+F(0)=0+\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^2}\,\text{d}t = \left[\text{arctan}(t)\right]_0^1 = \frac{\pi}{4}. \] Il en résulte que $H=G^2+F$ est constante en $\frac{\pi}{4}$ sur $\mathbb{R}_+$ d'où le résultat. - On remarque que l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t$ est convergente. En effet, $t \mapsto e^{-t^2}$ est continue positive sur $[0,+\infty[$, $e^{-t^2}=\underset{t \rightarrow +\infty}{o}(\frac{1}{1+t^2})$ par croissances comparées et l'intégrale $\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^2}\,\text{d}t$ converge car la fonction $\text{arctan}$ admet des limites finies en $0$ et $+\infty$; d'où la convergence de l'intégrale par comparaison.
De plus, par définition, on a : $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t = \lim_{x \rightarrow +\infty} G(x)$.
Ceci nous suggère alors de passer à la limite en $+\infty$ dans le résultat trouvé à la question précédente. Pour cela, il faut vérifier que $F$ admet une limite en $+\infty$ et la déterminer.
Vérifions les hypothèses du théorème de limite d'une intégrale à paramètre (on reprend les notations de la question 1.) : - Soit $x \in \mathbb{R}_+$. La fonction $t \mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $[0,1]$ car continue sur $\mathbb{R}$.
- Soit $t \in [0,1]$. Comme $1+t^2> 0$, on a : \[
\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x,t)=\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{-x^2(1+t^2)} = 0.
\]
- Domination sur $\mathbb{R}_+$. Soit $t \in [0,1]$. Pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a : \[ \left|f(x,t)\right| = e^{-x^2(1+t^{2})}\leqslant 1 = g(t). \] De plus, la fonction $g: t\mapsto 1$ est intégrable sur $[0,1]$ car continue sur ce segment. Toutes les hypothèses sont vérifiées. Ainsi, d'après le théorème de limite d'une intégrale à paramètre, $F$ admet une limite en $+\infty$ et on a : \[ \begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)&=&\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\int_{0}^{1}f(x,t)\,\text{d}t \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{1}\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x,t)\,\text{d}t \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{1}0\,\text{d}t \\ \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)&=&0. \end{array} \] Ainsi, d'après ce qui précède et la question 2., on a : \[ \begin{array}{rcl} \displaystyle \left(\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t\right)^2&=& \lim_{x \rightarrow +\infty}G(x)^2 \\ &=&\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\frac{\pi}{4}-F(x)\right) \\ &=&\displaystyle \frac{\pi}{4} -\lim_{x \rightarrow +\infty}F(x) \\ \displaystyle \left(\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t\right)^2&=&\displaystyle \frac{\pi}{4}. \end{array} \] Il en résulte : \[ \int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. \]
Exercice #16
Énoncé
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\[
u_n=\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}
\]
Exercice #17
Énoncé
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\[
u_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2}
\]
Exercice #20
Énoncé
Soit $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $\displaystyle \int_0^1 f(t)\text{d}t=\frac{1}{2}$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
Exercice #21
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ avec $g$ positive sur $[a,b]$. Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[
\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(c)\int_a^b g(t) \text{d}t.
\]
Exercice #22
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que $f$ est de classe $C^1$, positive et décroissante sur $[a,b]$ et que $g$ est continue sur $[a,b]$.
On note $G$ la primitive de $g$ qui s'annule en $a$.
On note $G$ la primitive de $g$ qui s'annule en $a$.
- Montrer que $\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t = f(b)G(b)-\int_a^b f'(t)G(t)\text{d}t$.
- Expliquer pourquoi $G$ atteint des minimum et maximum notés respectivement $m$ et $M$ sur $[a,b]$
- Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[ \int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(a)\int_a^cg(t)\text{d}t. \]
Exercice #29
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante grâce à un changement de variable bien choisi :\[
\int_1^2 \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}dt.
\]
Exercice #249
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante : \[
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(t)}{\sin(t)+\cos(t)}\text{d}t.
\]
Exercice #28
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante grâce à une intégration par partie :\[
\int_0^1 \ln(1+t^2)dt.
\]
Exercice #250
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[-1,1]$ où :\[
f: t \mapsto \text{arcsin}(t).
\]
Exercice #27
Énoncé
Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction suivante :\[
f:t\mapsto \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}
\]
Exercice #240
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[
f: t \mapsto -te^{6t^2}.
\]
Exercice #241
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[
f: t \mapsto \frac{1}{t\left(\ln(t)\right)^3}.
\]
Exercice #242
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[
f: t \mapsto \frac{1}{(t-1)^4}.
\]
Exercice #244
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[
f: t \mapsto \sqrt{t^2+t^4}.
\]
Exercice #245
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $]-1,+\infty[$ où :\[
f: t \mapsto \frac{1}{1+t^3}.
\]
Exercice #250
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[-1,1]$ où :\[
f: t \mapsto \text{arcsin}(t).
\]
Exercice #23
Énoncé
Soit $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer que $f$ possède une unique primitive $F$ sur $[0,1]$ telle que :\[
\int_0^1F(t) dt =0.
\]
Exercice #26
Énoncé
Pour tout $p,q \in \mathbb{N}$, calculer\[
I_{p,q}=\int_0^1 t^p(1-t)^q dt
\]
Exercice #25 Intégrales de Wallis
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(t) dt$.
- Montrer que $I_n > 0$ et que $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) dt$.
- Établir une relation entre $I_{n+2}$ et $I_n$ puis en déduire une expression de $I_n$ à l'aide de factorielles en distinguant les cas $n$ pair et impair.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[ (n+1)I_nI_{n+1}=\frac{\pi}{2}\quad \text{et}\quad I_{n+2}\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n. \]
- En déduire que $\frac{I_{n+1}}{I_n}$ tend vers $1$ puis déterminer une suite $(u_n)$ simple telle que $\frac{I_n}{u_n}$ vers $1$.
Exercice #449
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
-3&1&3 \\
1&-3&3 \\
-5&5&1
\end{pmatrix}$ et $B:t \mapsto \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ e^{t}
\end{pmatrix}$. Résoudre le système différentielle $X'=AX+B(t)$ où $X=\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}$ avec $x,y,z$ des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.
Exercice #450
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
3&-1 \\
1&1
\end{pmatrix}$ et $B:t \mapsto 2e^{2t}\begin{pmatrix}
1 \\ -1
\end{pmatrix}$. Résoudre le système différentielle $X'=AX+B(t)$ où $X=\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$ avec $x,y$ des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.
Exercice #239
Énoncé
Résoudre l'équation différentielle suivante sur $\mathbb{R}$ :\[
y'+\frac{e^x}{1+e^x}y=1
\]
Exercice #234
Énoncé
Déterminer les fonctions $f$ de $\mathbb{R}$ dans lui-même, dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifient, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :\[
f'(x)+f(x)=f(0)+f(1).
\]
Exercice #236
Énoncé
Soit $\omega,\omega_0 \in \mathbb{R}_+^*$ tels que $\omega \neq \omega_0$. Résoudre sur $\mathbb{R}$ le problème de Cauchy :\[
\begin{cases}
\;y''+\omega^2y=\cos(\omega_0x) \\
\\
\;y(0)=1\text{ et }y'(0)=0
\end{cases}
\]
Exercice #452
Énoncé
Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ : \[
y''+\frac{1}{t^2}y'-\frac{1}{t^3}y = 0.
\] On pourra commencer par rechercher une solution polynomiale non nulle de cette équation.
Exercice #454
Énoncé
Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ : \[
ty''+3y'-4t^3y = 0.
\] On pourra commencer par rechercher une solution développable en série entière et non nulle de cette équation.
Exercice #237
Énoncé
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :\[
y''+2y'+y=e^x
\]
Exercice #262
Énoncé
Déterminer les fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ deux fois dérivables telles que :\[
y^{\prime \,2}+y^2=1.
\]
Exercice #99
Énoncé
Soit $x,y \in \mathbb{R}$. Montrer l'inégalité suivante :\[
|xy| \leqslant \frac{x^2+y^2}{2}.
\]
Exercice #98
Énoncé
Soit $x,y \in [0,1]$. Montrer l'inégalité suivante :\[
x^2+y^2-xy \leqslant 1.
\]
Exercice #100
Énoncé
Soit $x,y \in \mathbb{R}_+$. Montrer l'inégalité suivante :\[
\sqrt{1+x}\sqrt{1+y} \geqslant 1+\sqrt{xy}.
\]
Exercice #103
Énoncé
Soit $x \in \mathbb{R}$. Exprimer les quantités suivantes en fonction de $\lfloor x \rfloor$ :\[
\lfloor -x \rfloor \text{ et } \lfloor 2x \rfloor.
\]
Exercice #101
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$. Montrer l'égalité suivante :\[
\left\lfloor \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor.
\]
Exercice #294
Énoncé
Soit $A$ une partie bornée et non vide de $\mathbb{R}$. On pose $B=\{ |x-y| \; | \; x,y \in A\}$. Montrer que $B$ admet un minimum et une borne supérieure; puis montrer que $\sup(B)=\sup(A)-\inf(A)$.
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