La M.D.J. (Mathématicienne des Jeux) vient de mettre en circulation son nouveau jeu à gratter et son principe est le suivant :

Sur chaque ticket, on peut découvrir, après l'avoir gratté consciencieusement, une grille $3\times 3$ dans laquelle sont placés aléatoirement${}^*$ chacun des chiffres de $1$ à $9$.
Le ticket rapporte $10$€ à son gratteur si le déterminant de la matrice correspondant à la grille est impair et ne rapporte rien s'il est pair.
Le coût moyen d'édition/distribution d'un ticket est de $0,10$€ et le prix de vente d'un ticket est de $6$€.


La M.D.J. va-t-elle faire des bénéfices sur la vente de ces tickets sur le long terme ?


${}^*$ Par aléatoirement, on entend - il s'agit de la méthode de tirage secrète de la M.D.J. que nous dévoilons ici - que l'on effectue le tirage d'une permutation $\sigma$ uniformément dans $\mathcal{S}_9$; on repère les cases de la grille lignes par lignes en partant du haut et de gauche à droite dans chaque ligne par le chiffres de $1$ à $9$ puis enfin on remplit chaque case repérée par $i \in \{1,...,9\}$ par le chiffre $\sigma(i)$.